Conditions d'équilibre : Un objet est en équilibre si la somme des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle.
- Isoler le système
- Identifier toutes les forces
- Appliquer les équations d'équilibre
- Résoudre le système d'équations
\(P = mg = 10 \times 9.81 = 98.1\) N
\(\sum F_x = T_1\cos(45°) - T_2\cos(45°) = 0\)
\(\sum F_y = T_1\sin(45°) + T_2\sin(45°) - P = 0\)
De la première équation : \(T_1 = T_2\)
De la deuxième équation : \(2T_1\sin(45°) = P\)
Donc : \(T_1 = \frac{P}{2\sin(45°)} = \frac{98.1}{2 \times 0.707} = 69.3\) N
\(T_1 = T_2 = 69.3\) N
\(\sum F_x = 69.3\cos(45°) - 69.3\cos(45°) = 0\) ✓
\(\sum F_y = 69.3\sin(45°) + 69.3\sin(45°) - 98.1 = 0\) ✓
Les tensions dans les deux câbles sont égales à 69.3 N
• Équilibre : Somme des forces horizontales et verticales nulle
• Symétrie : Pour un objet suspendu symétriquement, les tensions sont égales
• Trigonométrie : Décomposer les forces selon les axes x et y
Poutre isostatique : Structure en équilibre avec un nombre suffisant d'appuis pour équilibrer les forces sans être hyperstatique.
Charge P = 1500N à 2m de A, réactions \(R_A\) et \(R_B\) aux appuis
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P = 0\)
\(\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times L - P \times 2 = 0\)
\(R_B \times 8 - 1500 \times 2 = 0\)
\(R_B = \frac{3000}{8} = 375\) N
\(R_A = P - R_B = 1500 - 375 = 1125\) N
\(\sum F_y = 1125 + 375 - 1500 = 0\) ✓
\(\sum M_B = R_A \times 8 - P \times 6 = 9000 - 9000 = 0\) ✓
L'appui A supporte 1125N et l'appui B supporte 375N
• Équilibre : 3 équations pour 3 inconnues (isostatique)
• Moments : Choisir un point de calcul pour simplifier les équations
• Proportionnalité : La charge est plus proche de A, donc \(R_A > R_B\)
Équilibre plan : Un solide est en équilibre plan si la somme des forces et des moments par rapport à un point est nulle.
Échelle de longueur L = 5m, hauteur h = 4m, donc base = 3m (triangle 3-4-5)
Poids P = 100N au centre de l'échelle, réactions \(R_V\) (verticale) et \(R_H\) (horizontale)
\(\sum F_x = 0 \Rightarrow R_H - R_{mur} = 0\)
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_V - P = 0\)
\(\sum M_{base} = 0 \Rightarrow R_{mur} \times h - P \times \frac{L}{2} \cos\theta = 0\)
\(\cos\theta = \frac{3}{5} = 0.6\)
\(R_V = P = 100\) N
\(R_{mur} \times 4 - 100 \times 2.5 \times 0.6 = 0\)
\(R_{mur} = \frac{150}{4} = 37.5\) N
La réaction verticale est 100N et la réaction horizontale est 37.5N
• Équilibre plan : 3 équations (2 forces + 1 moment)
• Triangle rectangle : Utiliser les relations trigonométriques
• Moments : Prendre des moments par rapport à un point pour simplifier
Système symétrique : Structure où la charge est répartie de manière égale sur plusieurs supports.
\(P_{table} = 50 \times 9.81 = 490.5\) N
\(P_{charge} = 20 \times 9.81 = 196.2\) N
\(P_{total} = 490.5 + 196.2 = 686.7\) N
Charge centrée sur une table carrée symétrique → répartition uniforme
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow 4R - P_{total} = 0\)
\(R = \frac{P_{total}}{4} = \frac{686.7}{4} = 171.7\) N
\(4 \times 171.7 = 686.8\) N ≈ 686.7 N ✓
Chaque pied supporte 171.7 N
• Symétrie : Lorsque la charge est centrée, la répartition est uniforme
• Équilibre : Somme des réactions égale au poids total
• Proportionnalité : Répartition égale sur 4 supports identiques
Équilibre sur pente : Situation où les forces de gravité, de réaction et de frottement s'équilibrent.
\(P = mg = 200 \times 9.81 = 1962\) N
Composante parallèle à la pente : \(P_{//} = P\sin(30°)\)
\(P_{//} = 1962 \times \sin(30°) = 1962 \times 0.5 = 981\) N
\(P_{\perp} = P\cos(30°) = 1962 \times \cos(30°) = 1962 \times 0.866 = 1700\) N
Pour maintenir l'équilibre : \(F_{frottement} = P_{//} = 981\) N
La réaction normale : \(N = P_{\perp} = 1700\) N
\(\sum F_{//} = F_{frottement} - P_{//} = 981 - 981 = 0\) ✓
\(\sum F_{\perp} = N - P_{\perp} = 1700 - 1700 = 0\) ✓
La force de frottement est de 981 N et la réaction normale est de 1700 N
• Décomposition : Projeter les forces selon les directions parallèle et perpendiculaire à la pente
• Équilibre : La force de frottement doit compenser la composante du poids parallèle à la pente
• Sécurité : Le coefficient de frottement doit être suffisant pour éviter le glissement
- Méthode analytique : Écrire les équations d'équilibre et résoudre le système
- Méthode graphique : Polygone des forces pour les systèmes plans
- Méthode des torseurs : Formalisme complet pour les systèmes spatiaux
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
