Accélération moyenne : \(a_{\text{moy}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\) est le rapport de la variation de vitesse sur l'intervalle de temps.
- Identifier les vitesses initiale et finale
- Identifier les instants correspondants
- Calculer les différences Δv et Δt
- Diviser Δv par Δt pour obtenir l'accélération moyenne
Une voiture accélère de 20 km/h à 80 km/h en 10 secondes. Calculer son accélération moyenne.
v₁ = 20 km/h = 20/3.6 ≈ 5.56 m/s
v₂ = 80 km/h = 80/3.6 ≈ 22.22 m/s
Δv = v₂ - v₁ = 22.22 - 5.56 = 16.66 m/s
Δt = 10 s
a_moy = Δv/Δt = 16.66/10 = 1.666 m/s²
L'accélération moyenne est positive, donc la vitesse augmente.
La voiture gagne environ 1.67 m/s de vitesse chaque seconde.
L'accélération moyenne de la voiture est de 1.67 m/s².
• Unités : Toujours utiliser des unités cohérentes (SI)
• Signe : Accélération positive = vitesse qui augmente
• Conversion : 1 km/h = 1/3.6 m/s
Accélération instantanée : \(a(t) = \frac{dv}{dt}\) est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
La vitesse d'un mobile est donnée par : \(v(t) = 4t^2 - 3t + 5\) (v en m/s, t en s). Trouver l'accélération instantanée à t = 2s.
\(v(t) = 4t^2 - 3t + 5\)
\(\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2) - \frac{d}{dt}(3t) + \frac{d}{dt}(5)\)
\(\frac{dv}{dt} = 8t - 3\)
\(a(t) = 8t - 3\)
\(a(2) = 8(2) - 3 = 16 - 3 = 13\) m/s²
À t = 2s, l'accélération est positive (13 m/s²), donc la vitesse augmente à cet instant.
L'accélération instantanée à t = 2s est de 13 m/s².
• Dérivation : \(\frac{d}{dt}(t^n) = nt^{n-1}\)
• Constante : Dérivée d'une constante est nulle
• Signe : Indique si la vitesse augmente ou diminue
Graphiquement : L'accélération instantanée en un point est la pente de la tangente à la courbe v(t) en ce point.
Sur un graphe v(t), la tangente à la courbe au point A(t=3s) a une pente de -2 m/s². Que représente cette valeur ? Interpréter si la pente est négative.
La pente de la tangente à v(t) en un point représente \(\frac{dv}{dt}\) en ce point
Donc la pente = accélération instantanée
Pente = -2 m/s²
Donc a(3) = -2 m/s²
Pente négative = accélération négative
Cela signifie que la vitesse diminue (freinage ou décélération)
Si la tangente est horizontale (pente = 0), alors a = 0 (vitesse constante)
Si la tangente est verticale, l'accélération est infinie (physiquement impossible)
La pente de -2 m/s² représente l'accélération instantanée du mobile à t = 3s. La vitesse diminue.
• Pente tangente : Égale à la dérivée (accélération instantanée)
• Signe pente : Indique le sens de la variation de vitesse
• Horizontal : Accélération nulle (vitesse constante)
Vecteur accélération : \(\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}\). Grandeur vectorielle avec direction, sens et norme.
Le vecteur vitesse d'un point est : \(\vec{v}(t) = (6t + 2)\vec{i} + (4 - 2t)\vec{j}\). Trouver le vecteur accélération et sa norme à t = 3s.
\(v_x(t) = 6t + 2 \Rightarrow \frac{dv_x}{dt} = 6\)
\(v_y(t) = 4 - 2t \Rightarrow \frac{dv_y}{dt} = -2\)
\(v_z(t) = 0 \Rightarrow \frac{dv_z}{dt} = 0\)
\(\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6\vec{i} - 2\vec{j} + 0\vec{k}\)
\(\vec{a}(t) = 6\vec{i} - 2\vec{j}\)
\(\vec{a}(3) = 6\vec{i} - 2\vec{j}\)
Remarque : L'accélération est constante (ne dépend pas de t)
\(||\vec{a}(3)|| = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)
\(||\vec{a}(3)|| \approx 6.32\) m/s²
Le vecteur accélération à t = 3s est \(\vec{a}(3) = 6\vec{i} - 2\vec{j}\) et sa norme est environ 6.32 m/s².
• Vecteur accélération : Dérivée du vecteur vitesse
• Norme : \(\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)
• Composantes : Dérivées de chaque composante de la vitesse
Freinage : Accélération négative qui diminue la vitesse. Pour un MRUA : \(v(t) = v_0 + at\) et \(x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\).
Un véhicule roule à 90 km/h et freine avec une décélération constante de 5 m/s². Calculer la distance d'arrêt et le temps de freinage.
v₀ = 90 km/h = 90/3.6 = 25 m/s
v_finale = 0 m/s (véhicule s'arrête)
a = -5 m/s² (décélération)
Équation du MRUA : \(v(t) = v_0 + at\)
À l'arrêt : \(0 = 25 + (-5)t\)
\(0 = 25 - 5t\)
\(5t = 25\)
\(t = 5\) s
Équation du MRUA : \(x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\)
En prenant x₀ = 0 : \(x(5) = 0 + 25(5) + \frac{1}{2}(-5)(5)^2\)
\(x(5) = 125 + \frac{1}{2}(-5)(25) = 125 - 62.5 = 62.5\) m
\(v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)\)
\(0^2 - 25^2 = 2(-5)d\)
\(-625 = -10d\)
\(d = 62.5\) m ✓
Le véhicule met 5 secondes pour s'arrêter et parcourt une distance de 62.5 mètres.
• MRUA : Accélération constante, équations spécifiques
• Signe : Décélération = accélération négative
• Équation de Torricelli : \(v^2 - v_0^2 = 2a\Delta x\) (sans temps)
- Accélération moyenne : \(a_{\text{moy}} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}\)
- Accélération instantanée : \(a(t) = \frac{dv}{dt}\)
- Graphique : Pente de la tangente à la courbe v(t)
- Vecteur accélération : \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\)
- L'accélération instantanée est la pente de la tangente à v(t)
- Accélération positive = vitesse qui augmente
- Accélération négative = vitesse qui diminue (freinage)
- Accélération nulle = vitesse constante (MRU)
- L'accélération est la dérivée seconde de la position
