Vitesse moyenne : \(v_{\text{moy}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}\) est le rapport de la distance parcourue sur l'intervalle de temps.
- Identifier les positions initiale et finale
- Identifier les instants correspondants
- Calculer les différences Δx et Δt
- Diviser Δx par Δt pour obtenir la vitesse moyenne
Une voiture parcourt une distance de 150 km en 2 heures. Elle s'arrête 30 minutes à mi-chemin. Calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
Distance totale : Δx = 150 km
Durée totale : Δt = 2h (y compris l'arrêt)
\(v_{\text{moy}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{150}{2} = 75\) km/h
75 km/h = 75/3.6 ≈ 20.83 m/s
La vitesse moyenne tient compte de l'arrêt : la voiture aurait pu parcourir 150 km à 75 km/h en 2h sans s'arrêter.
La vitesse moyenne de la voiture est de 75 km/h.
• Temps total : Inclut les arrêts et pauses
• Distance totale : Distance réellement parcourue
• Unités : Vérifier la cohérence des unités
Vitesse instantanée : \(v(t) = \frac{dx}{dt}\) est la dérivée de la position par rapport au temps.
La position d'un mobile est donnée par : \(x(t) = 2t^3 - 5t^2 + 3t + 10\) (x en mètres, t en secondes). Trouver la vitesse instantanée à t = 3s.
\(x(t) = 2t^3 - 5t^2 + 3t + 10\)
\(\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3) - \frac{d}{dt}(5t^2) + \frac{d}{dt}(3t) + \frac{d}{dt}(10)\)
\(\frac{dx}{dt} = 6t^2 - 10t + 3\)
\(v(t) = 6t^2 - 10t + 3\)
\(v(3) = 6(3)^2 - 10(3) + 3\)
\(v(3) = 6 \times 9 - 30 + 3\)
\(v(3) = 54 - 30 + 3 = 27\) m/s
À t = 3s, la vitesse est positive, donc le mobile se déplace dans le sens positif.
La vitesse instantanée à t = 3s est de 27 m/s.
• Dérivation : \(\frac{d}{dt}(t^n) = nt^{n-1}\)
• Constante : Dérivée d'une constante est nulle
• Signe : Indique le sens du mouvement
Graphiquement : La vitesse instantanée en un point est la pente de la tangente à la courbe x(t) en ce point.
Sur un graphe x(t), la tangente à la courbe au point A(t=2s) a une pente de 4 m/s. Que représente cette valeur ? Interpréter si la pente est positive.
La pente de la tangente à x(t) en un point représente \(\frac{dx}{dt}\) en ce point
Donc la pente = vitesse instantanée
Pente = 4 m/s
Donc v(2) = 4 m/s
Pente positive = vitesse positive
Cela signifie que le mobile avance dans le sens positif de l'axe
Si la tangente est horizontale (pente = 0), alors v = 0 (immobilité instantanée)
Si la tangente est verticale, la vitesse est infinie (physiquement impossible)
La pente de 4 m/s représente la vitesse instantanée du mobile à t = 2s. Le mobile avance dans le sens positif.
• Pente tangente : Égale à la dérivée (vitesse instantanée)
• Signe pente : Indique le sens du mouvement
• Horizontal : Vitesse nulle
Vecteur vitesse : \(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k}\). Grandeur vectorielle avec direction, sens et norme.
Le vecteur position d'un point est : \(\vec{OM}(t) = (3t^2 + 2)\vec{i} + (4t - 1)\vec{j}\). Trouver le vecteur vitesse et sa norme à t = 2s.
\(x(t) = 3t^2 + 2 \Rightarrow \frac{dx}{dt} = 6t\)
\(y(t) = 4t - 1 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = 4\)
\(z(t) = 0 \Rightarrow \frac{dz}{dt} = 0\)
\(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = 6t\vec{i} + 4\vec{j} + 0\vec{k}\)
\(\vec{v}(t) = 6t\vec{i} + 4\vec{j}\)
\(\vec{v}(2) = 6(2)\vec{i} + 4\vec{j} = 12\vec{i} + 4\vec{j}\)
\(||\vec{v}(2)|| = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\)
\(||\vec{v}(2)|| \approx 12.65\) m/s
Le vecteur vitesse à t = 2s est \(\vec{v}(2) = 12\vec{i} + 4\vec{j}\) et sa norme est environ 12.65 m/s.
• Vecteur vitesse : Dérivée du vecteur position
• Norme : \(\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\)
• Composantes : Dérivées de chaque coordonnée
Mouvement varié : La vitesse instantanée change au cours du temps. La vitesse moyenne ne correspond pas à la vitesse instantanée sauf pour un MRU.
Un mobile a pour équation horaire : \(x(t) = t^2 + 2t\). Calculer sa vitesse moyenne entre t = 1s et t = 4s, puis sa vitesse instantanée à t = 2.5s (milieu de l'intervalle). Comparer les résultats.
À t = 1s : \(x(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3\) m
À t = 4s : \(x(4) = 4^2 + 2(4) = 16 + 8 = 24\) m
\(\Delta x = x(4) - x(1) = 24 - 3 = 21\) m
\(\Delta t = 4 - 1 = 3\) s
\(v_{\text{moy}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{21}{3} = 7\) m/s
\(x(t) = t^2 + 2t\)
\(v(t) = \frac{dx}{dt} = 2t + 2\)
\(v(2.5) = 2(2.5) + 2 = 5 + 2 = 7\) m/s
Curieusement, \(v_{\text{moy}} = v(2.5) = 7\) m/s
Cela se produit parce que pour un mouvement uniformément varié (MRUA), la vitesse moyenne sur un intervalle égale la vitesse instantanée au milieu de l'intervalle.
Pour \(x(t) = t^2 + 2t\), l'accélération est constante : \(a(t) = \frac{dv}{dt} = 2\) m/s²
C'est bien un MRUA, donc le phénomène observé est normal.
Pour ce MRUA, la vitesse moyenne (7 m/s) égale la vitesse instantanée au milieu de l'intervalle (7 m/s).
• MRUA : Pour un mouvement uniformément varié, \(v_{\text{moy}} = v_{\text{instantanée}}\) au milieu de l'intervalle
• Accélération constante : Dérivée seconde de la position
• Comparaison : Différente pour mouvements non uniformément variés
- Vitesse moyenne : \(v_{\text{moy}} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}\)
- Vitesse instantanée : \(v(t) = \frac{dx}{dt}\)
- Graphique : Pente de la tangente à la courbe x(t)
- Vecteur vitesse : \(\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}\)
- La vitesse instantanée est la pente de la tangente à x(t)
- La vitesse moyenne dépend du trajet réellement parcouru
- La vitesse instantanée peut être nulle alors que la moyenne ne l'est pas
- Pour un MRU, vitesse moyenne = vitesse instantanée
- La vitesse instantanée est une grandeur locale
