Mouvement rectiligne : La trajectoire est une droite. Les équations horaires sont de la forme \(x(t) = at + b\), \(y(t) = ct + d\), \(z(t) = et + f\).
- Extraire les équations paramétriques du vecteur position
- Éliminer le paramètre temporel pour trouver l'équation cartésienne
- Identifier la nature de la trajectoire
- Calculer la distance parcourue si demandé
Un point mobile M a pour équations horaires : \(x(t) = 2t + 1\), \(y(t) = -t + 3\), \(z(t) = 0\) (t en secondes, positions en mètres). Déterminer la nature de la trajectoire et la position à t = 5s.
\(\vec{OM}(t) = (2t + 1)\vec{i} + (-t + 3)\vec{j} + 0\vec{k}\)
De \(x(t) = 2t + 1\), on tire \(t = \frac{x-1}{2}\)
Substituer dans \(y(t) = -t + 3\) :
\(y = -\frac{x-1}{2} + 3 = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 3 = -\frac{x}{2} + \frac{7}{2}\)
\(y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\)
C'est l'équation d'une droite dans le plan (Oxy).
\(x(5) = 2(5) + 1 = 11\) m
\(y(5) = -(5) + 3 = -2\) m
\(z(5) = 0\) m
Position : M(11, -2, 0)
La trajectoire est une droite d'équation \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\). À t = 5s, le point est en M(11, -2, 0).
• Équation paramétrique : Chaque coordonnée dépend du temps
• Équation cartésienne : Relation directe entre coordonnées
• Substitution : Élimination du paramètre pour trouver la trajectoire
Mouvement circulaire uniforme : Le point décrit un cercle à vitesse constante. \(\vec{OM}(t) = R\cos(\omega t + \phi_0)\vec{i} + R\sin(\omega t + \phi_0)\vec{j}\).
Un point M décrit un cercle de rayon R = 5 m dans le plan (Oxy) avec une vitesse angulaire ω = 2 rad/s. À t = 0, le point est en (5, 0). Trouver les équations horaires et la trajectoire.
À t = 0 : M(5, 0), donc x(0) = 5, y(0) = 0
Rayon R = 5 m, vitesse angulaire ω = 2 rad/s
\(x(t) = R\cos(\omega t + \phi_0)\)
\(y(t) = R\sin(\omega t + \phi_0)\)
À t = 0 : \(x(0) = 5\cos(\phi_0) = 5\)
Donc \(\cos(\phi_0) = 1\), ce qui donne \(\phi_0 = 0\)
\(x(t) = 5\cos(2t)\)
\(y(t) = 5\sin(2t)\)
\(z(t) = 0\)
\(x^2 + y^2 = [5\cos(2t)]^2 + [5\sin(2t)]^2\)
\(x^2 + y^2 = 25[\cos^2(2t) + \sin^2(2t)] = 25\)
Équations horaires : \(x(t) = 5\cos(2t)\), \(y(t) = 5\sin(2t)\). Trajectoire : cercle d'équation \(x^2 + y^2 = 25\).
• Identité trigonométrique : \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)
• Conditions initiales : Permettent de déterminer la phase
• Cercle : Équation de la forme \(x^2 + y^2 = R^2\)
Mouvement parabolique : Typique d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. \(x(t) = v_{0x}t + x_0\), \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t + y_0\).
Un projectile est lancé du point O(0, 0) avec une vitesse initiale \(\vec{v_0} = 10\vec{i} + 20\vec{j}\) (m/s). g = 9.81 m/s². Trouver l'équation de la trajectoire.
Axe x (horizontal) : \(x(t) = v_{0x}t = 10t\)
Axe y (vertical) : \(y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0y}t = -\frac{1}{2}(9.81)t^2 + 20t\)
\(y(t) = -4.905t^2 + 20t\)
De \(x(t) = 10t\), on tire \(t = \frac{x}{10}\)
\(y = -4.905\left(\frac{x}{10}\right)^2 + 20\left(\frac{x}{10}\right)\)
\(y = -4.905 \cdot \frac{x^2}{100} + 2x\)
\(y = -0.04905x^2 + 2x\)
\(y = -0.04905x^2 + 2x\)
C'est une parabole concave (coefficient de x² négatif)
Portée : solution de \(y = 0\) avec \(x \neq 0\)
\(-0.04905x^2 + 2x = 0\)
\(x(-0.04905x + 2) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = \frac{2}{0.04905} \approx 40.8\) m
L'équation de la trajectoire est \(y = -0.049x^2 + 2x\). La portée maximale est d'environ 40.8 m.
• Mouvement indépendant : Horizontal (MRU) et vertical (MRUA)
• Équation parabolique : \(y = ax^2 + bx + c\) avec \(a < 0\)
• Portée : Distance horizontale entre départ et arrivée au sol
Hélice cylindrique : Combinaison d'un mouvement circulaire dans un plan et d'un mouvement rectiligne selon l'axe perpendiculaire. \(\vec{OM}(t) = R\cos(\omega t)\vec{i} + R\sin(\omega t)\vec{j} + ht\vec{k}\).
Un point M se déplace selon les équations : \(x(t) = 3\cos(2t)\), \(y(t) = 3\sin(2t)\), \(z(t) = 4t\). Identifier la nature de la trajectoire et calculer la distance parcourue entre t = 0 et t = π.
Composantes x et y : \(x^2 + y^2 = 9\cos^2(2t) + 9\sin^2(2t) = 9\)
Donc le point tourne sur un cercle de rayon R = 3 dans le plan (Oxy)
Composante z : \(z(t) = 4t\) (mouvement rectiligne uniforme)
Combinaison d'un cercle et d'une translation : c'est une hélice cylindrique
Axe de l'hélice : axe (Oz)
Rayon de l'hélice : R = 3 m
\(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k}\)
\(\frac{dx}{dt} = -6\sin(2t)\), \(\frac{dy}{dt} = 6\cos(2t)\), \(\frac{dz}{dt} = 4\)
\(\vec{v}(t) = -6\sin(2t)\vec{i} + 6\cos(2t)\vec{j} + 4\vec{k}\)
\(||\vec{v}(t)|| = \sqrt{(-6\sin(2t))^2 + (6\cos(2t))^2 + 4^2}\)
\(||\vec{v}(t)|| = \sqrt{36\sin^2(2t) + 36\cos^2(2t) + 16}\)
\(||\vec{v}(t)|| = \sqrt{36(\sin^2(2t) + \cos^2(2t)) + 16} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) m/s
\(s = \int_0^{\pi} ||\vec{v}(t)|| dt = \int_0^{\pi} 2\sqrt{13} dt\)
\(s = 2\sqrt{13} \cdot [t]_0^{\pi} = 2\sqrt{13} \cdot \pi\)
\(s = 2\pi\sqrt{13} \approx 22.65\) m
La trajectoire est une hélice cylindrique de rayon 3 m. La distance parcourue entre t = 0 et t = π est d'environ 22.65 m.
• Hélice : Combinaison de mouvement circulaire et linéaire
• Distance : \(s = \int ||\vec{v}(t)|| dt\)
• Identité trigonométrique : \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
Orbite elliptique : Trajectoire d'équation \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). En coordonnées paramétriques : \(x(t) = a\cos(\theta(t))\), \(y(t) = b\sin(\theta(t))\).
Un satellite décrit une ellipse de demi-grand axe a = 7000 km et demi-petit axe b = 5000 km. L'équation de la trajectoire est \(\frac{x^2}{7000^2} + \frac{y^2}{5000^2} = 1\). Trouver la position du satellite quand il est à 6000 km du foyer situé à l'origine.
Demi-grand axe : a = 7000 km
Demi-petit axe : b = 5000 km
Distance focale : \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{7000^2 - 5000^2} = \sqrt{49000000 - 25000000} = \sqrt{24000000} = 2000\sqrt{6}\) km
\(\frac{x^2}{7000^2} + \frac{y^2}{5000^2} = 1\)
Le satellite est à 6000 km du foyer à l'origine O(0,0)
Donc : \(\sqrt{x^2 + y^2} = 6000\), ce qui donne \(x^2 + y^2 = 36000000\)
\(\begin{cases} \frac{x^2}{49000000} + \frac{y^2}{25000000} = 1 \\ x^2 + y^2 = 36000000 \end{cases}\)
De la deuxième équation : \(y^2 = 36000000 - x^2\)
Substituer dans la première : \(\frac{x^2}{49000000} + \frac{36000000 - x^2}{25000000} = 1\)
\(\frac{x^2}{49000000} + \frac{36000000}{25000000} - \frac{x^2}{25000000} = 1\)
\(x^2\left(\frac{1}{49000000} - \frac{1}{25000000}\right) = 1 - \frac{36}{25}\)
\(\frac{1}{49000000} - \frac{1}{25000000} = \frac{25-49}{49 \times 25 \times 10^6} = \frac{-24}{1225 \times 10^6}\)
\(1 - \frac{36}{25} = \frac{25-36}{25} = -\frac{11}{25}\)
\(x^2 \cdot \frac{-24}{1225 \times 10^6} = -\frac{11}{25}\)
\(x^2 = \frac{11}{25} \cdot \frac{1225 \times 10^6}{24} = \frac{11 \times 1225 \times 10^6}{25 \times 24} = \frac{13475 \times 10^6}{600} = \frac{539 \times 10^6}{24}\)
\(x^2 = \frac{539 \times 10^6}{24} \approx 22458333.33\)
\(x \approx \pm 4739\) km
\(y^2 = 36000000 - 22458333.33 = 13541666.67\)
\(y \approx \pm 3680\) km
Le satellite est à une des positions : (4739, 3680, 0), (4739, -3680, 0), (-4739, 3680, 0), ou (-4739, -3680, 0) en km.
• Ellipse : \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
• Distance : \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
• Résolution système : Substitution pour éliminer une variable
- Rectiligne : \(y = ax + b\) - mouvement suivant une droite
- Circulaire : \(x^2 + y^2 = R^2\) - mouvement sur un cercle
- Parabolique : \(y = ax^2 + bx + c\) - projectile dans gravité
- Elliptique : \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) - orbite céleste
- La trajectoire est indépendante du repère choisi
- Le vecteur position dépend du repère d'étude
- La distance parcourue est toujours positive
- La trajectoire peut être fermée ou ouverte
- Les équations horaires contiennent toute l'information du mouvement
