Porte NAND : Inverse de la porte AND, est une porte universelle.
- Identifier la fonction logique recherchée
- Appliquer le théorème de De Morgan si nécessaire
- Transformer l'expression en utilisant la porte de base
- Représenter le circuit équivalent
- Vérifier avec la table de vérité
A + B = ¬(¬A · ¬B) (Théorème de De Morgan)
A + B = ¬(¬(A·A) · ¬(B·B)) = ¬(¬(A·A) · ¬(B·B))
Ou plus simplement : A + B = ¬(¬(A·B)·¬(A·B)) = ¬(¬(A·B)·¬(A·B))
En fait : A + B = ¬(¬A · ¬B) = NAND(NAND(A,A), NAND(B,B))
NAND(A,A) = ¬A
NAND(B,B) = ¬B
NAND(¬A, ¬B) = ¬(¬A · ¬B) = A + B
3 portes NAND pour simuler une OR
NAND(A,A) = ¬A, NAND(B,B) = ¬B
A + B = ¬(¬A · ¬B)
NAND(¬A, ¬B) = ¬(¬A · ¬B) = A + B
Pour réaliser une porte OR avec des portes NAND :
1. Créer ¬A avec NAND(A,A)
2. Créer ¬B avec NAND(B,B)
3. Créer A+B avec NAND(¬A, ¬B)
Total : 3 portes NAND
• Théorème de De Morgan : A + B = ¬(¬A · ¬B)
• Porte universelle : NAND peut créer toutes les autres portes
• Effet NOT : NAND(A,A) = ¬A
Porte NOR : Inverse de la porte OR, est également une porte universelle.
A · B = ¬(¬(A·B)) (double négation)
A · B = ¬(¬A + ¬B) (Théorème de De Morgan)
A · B = NOR(¬A, ¬B)
Or ¬A = NOR(A,A) et ¬B = NOR(B,B)
Donc A · B = NOR(NOR(A,A), NOR(B,B))
NOR(A,A) = ¬A
NOR(B,B) = ¬B
NOR(¬A, ¬B) = ¬(¬A + ¬B) = A · B
3 portes NOR pour simuler une AND
NOR(A,A) = ¬A, NOR(B,B) = ¬B
A · B = ¬(¬A + ¬B)
NOR(¬A, ¬B) = ¬(¬A + ¬B) = A · B
Pour réaliser une porte AND avec des portes NOR :
1. Créer ¬A avec NOR(A,A)
2. Créer ¬B avec NOR(B,B)
3. Créer A·B avec NOR(¬A, ¬B)
Total : 3 portes NOR
• Théorème de De Morgan : A · B = ¬(¬A + ¬B)
• Porte universelle : NOR peut créer toutes les autres portes
• Effet NOT : NOR(A,A) = ¬A
Porte XOR : OU exclusif, retourne 1 si les entrées sont différentes.
XOR : A ⊕ B = A·¬B + ¬A·B
Construction avec AND, OR, NOT :
1. ¬A = NOT(A)
2. ¬B = NOT(B)
3. A·¬B = AND(A, ¬B)
4. ¬A·B = AND(¬A, B)
5. A⊕B = OR(A·¬B, ¬A·B)
2 NOT, 2 AND, 1 OR = 5 portes
Peut être construit avec 4 NAND
A⊕B = (A+B)·¬(A·B)
Comparaison, détection de changement
A ⊕ B = A·¬B + ¬A·B
A·¬B et ¬A·B
(A·¬B) + (¬A·B)
XOR avec portes de base :
1. 2 portes NOT pour ¬A et ¬B
2. 2 portes AND pour A·¬B et ¬A·B
3. 1 porte OR pour combiner les résultats
Total : 5 portes logiques
• Expression XOR : A⊕B = A·¬B + ¬A·B
• Applications : Comparaison, détection de différence
• Alternative : Peut être construit avec 4 NAND
Simplification logique : Réduction d'une expression booléenne pour minimiser le nombre de portes.
S = A·B + A·¬B + ¬A·B
S = A·(B + ¬B) + ¬A·B (distributivité)
S = A·1 + ¬A·B (car B + ¬B = 1)
S = A + ¬A·B
S = A + B (loi d'absorption)
S = A·B + A·¬B + ¬A·B (5 portes)
S = A + B (1 porte)
4 portes économisées
Algèbre de Boole, Karnaugh
A·B + A·¬B = A·(B + ¬B) = A·1 = A
S = A + ¬A·B
A + ¬A·B = A + B
Expression originale : S = A·B + A·¬B + ¬A·B
Expression simplifiée : S = A + B
Gain : 4 portes logiques économisées
Techniques : Algèbre de Boole, loi d'absorption
• Loi d'absorption : A + ¬A·B = A + B
• Distributivité : A·B + A·¬B = A·(B + ¬B)
• Simplification : Réduit coût et complexité
Circuit logique combiné : Ensemble de portes interconnectées sans mémoire.
Étape 1 : A·B (porte AND)
Étape 2 : A·B + C (porte OR)
Étape 3 : A·C (porte AND)
Étape 4 : ¬(A·C) (porte NOT)
Étape 5 : (A·B + C)·¬(A·C) (porte AND)
A, B, C (3 entrées)
3 AND, 1 OR, 1 NOT
S = (A·B + C)·¬(A·C)
Logique de décision, contrôle
A·B, A·C, A·B + C
¬(A·C), puis combiner
S = (A·B + C)·¬(A·C)
| A | B | C | A·B | A·B+C | A·C | ¬(A·C) | S |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
• Évaluation progressive : Calculer chaque sous-expression
• Ordre des opérations : NOT, AND, OR
• Applications : Logique de décision, circuits de contrôle
- Loi d'absorption : A + A·B = A, A·(A + B) = A
- Théorème de De Morgan : \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\), \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\)
- Distributivité : A·(B + C) = A·B + A·C
- Identités remarquables : A·A = A, A+A = A
- Complément : A·¬A = 0, A+¬A = 1
- Les portes NAND et NOR sont des portes universelles
- La simplification permet de réduire le nombre de composants
- Les circuits combinatoires n'ont pas de mémoire
- L'algèbre de Boole est l'outil fondamental pour la logique
- Les tables de vérité vérifient la validité des expressions
- Multiplexeurs : Sélection d'une entrée parmi plusieurs
- Décodeurs : Conversion d'un code binaire en une sortie active
- Comparateurs : Comparaison d'entrées binaires
- Opérateurs arithmétiques : Additionneurs, soustracteurs
- Contrôleurs logiques : Séquenceurs, machines d'état
- Moins de portes : Réduction du coût matériel
- Moins de connexions : Circuit plus simple et fiable
- Moins de surface : Moins d'espace sur la puce
- Moins de consommation : Moins d'énergie requise
- Moins de retard : Temps de propagation réduit
