Méthode de Newton-Raphson : Méthode itérative pour trouver les zéros d'une fonction : \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
- Choisir une estimation initiale \(x_0\)
- Calculer \(f(x_0)\) et \(f'(x_0)\)
- Appliquer la formule : \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\)
- Répéter jusqu'à convergence
- Vérifier que l'erreur est inférieure au seuil
\(f(x) = x^2 - 4 = 0\) (solution exacte : \(x = 2\))
\(f'(x) = 2x\)
\(x_0 = 3\) (choix raisonnable proche de la solution)
\(f(3) = 3^2 - 4 = 5\)
\(f'(3) = 2 \times 3 = 6\)
\(x_1 = 3 - \frac{5}{6} = 3 - 0.833 = 2.167\)
\(f(2.167) = (2.167)^2 - 4 = 0.696\)
\(f'(2.167) = 2 \times 2.167 = 4.334\)
\(x_2 = 2.167 - \frac{0.696}{4.334} = 2.006\)
\(f(2.006) = (2.006)^2 - 4 = 0.024\)
\(f'(2.006) = 2 \times 2.006 = 4.012\)
\(x_3 = 2.006 - \frac{0.024}{4.012} = 2.000\)
La méthode de Newton converge rapidement vers la solution \(x = 2.000\) après 3 itérations, avec une erreur inférieure à 0.001.
• Formule de Newton : \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
• Convergence quadratique : Erreur diminue rapidement
• Condition de convergence : \(f'(x) \neq 0\) près de la solution
Méthode de bissection : Méthode qui divise un intervalle en deux parties égales pour localiser la racine
\(f(x) = x^3 - x - 1 = 0\)
On cherche une racine dans l'intervalle \([1, 2]\)
\(f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1\)
\(f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5\)
\(f(1) \cdot f(2) < 0\) ⇒ racine dans l'intervalle
Point milieu : \(c = \frac{1 + 2}{2} = 1.5\)
\(f(1.5) = (1.5)^3 - 1.5 - 1 = 0.875\)
\(f(1) \cdot f(1.5) < 0\) ⇒ racine dans \([1, 1.5]\)
Nouvel intervalle : \([1, 1.5]\)
Point milieu : \(c = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25\)
\(f(1.25) = (1.25)^3 - 1.25 - 1 = -0.297\)
\(f(1.25) \cdot f(1.5) < 0\) ⇒ racine dans \([1.25, 1.5]\)
Itération 3 : \(c = 1.375\), \(f(1.375) = 0.225\) ⇒ racine dans \([1.25, 1.375]\)
Itération 4 : \(c = 1.3125\), \(f(1.3125) = -0.052\) ⇒ racine dans \([1.3125, 1.375]\)
Après 10 itérations : \(x \approx 1.3247\)
La méthode de bissection converge vers la solution \(x \approx 1.3247\) après 10 itérations, avec une convergence garantie.
• Théorème des valeurs intermédiaires : \(f(a) \cdot f(b) < 0\)
• Division binaire : \(c = \frac{a + b}{2}\)
• Convergence linéaire : Erreur divisée par 2 à chaque itération
Méthode de la sécante : Méthode qui approxime la dérivée par un quotient de différences
\(f(x) = \cos(x) - x = 0\)
Formule de la sécante : \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}\)
\(x_0 = 0\), \(x_1 = 1\)
\(f(0) = \cos(0) - 0 = 1\)
\(f(1) = \cos(1) - 1 \approx 0.540 - 1 = -0.460\)
\(x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1 - x_0}{f(x_1) - f(x_0)}\)
\(x_2 = 1 - (-0.460)\frac{1 - 0}{-0.460 - 1} = 1 + 0.460 \times \frac{1}{-1.460} = 0.685\)
\(f(0.685) = \cos(0.685) - 0.685 \approx 0.775 - 0.685 = 0.090\)
\(x_3 = 0.685 - 0.090\frac{0.685 - 1}{0.090 - (-0.460)} = 0.685 - 0.090\frac{-0.315}{0.550} = 0.736\)
\(x_4 \approx 0.739\), \(x_5 \approx 0.739\)
La méthode converge vers \(x \approx 0.739\) (point fixe de \(\cos(x)\))
La méthode de la sécante converge vers \(x \approx 0.739\) sans nécessiter le calcul explicite de la dérivée.
• Formule de la sécante : \(x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\)
• Pas de dérivée : Approximation par différences finies
• Convergence superlinéaire : Entre linéaire et quadratique
Système d'équations non linéaires : Ensemble d'équations à résoudre simultanément
\(f_1(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0\) (cercle de rayon 2)
\(f_2(x, y) = x - y - 1 = 0\) (droite)
\(\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - J^{-1}(\mathbf{x}_n)\mathbf{f}(\mathbf{x}_n)\)
Où \(J\) est la matrice jacobienne
\(J(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{x}_0 = \begin{bmatrix} 1.5 \\ 0.5 \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = \begin{bmatrix} (1.5)^2 + (0.5)^2 - 4 \\ 1.5 - 0.5 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(J(\mathbf{x}_0) = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
\(\det(J) = -3 - 1 = -4\)
\(J^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & -0.75 \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_0 - J^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = \begin{bmatrix} 1.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0.25 & 0.25 \\ 0.25 & -0.75 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1.5 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1.5 \\ 0.5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -0.375 \\ -0.375 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.875 \\ 0.875 \end{bmatrix}\)
La méthode de Newton-Raphson pour systèmes converge vers la solution approximative \(x \approx 1.875\), \(y \approx 0.875\), intersection du cercle et de la droite.
• Système vectoriel : \(\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\)
• Jacobienne : Matrice des dérivées partielles
• Inversion matricielle : \(J^{-1}\) dans la formule de Newton
Méthode d'Euler : Méthode d'intégration numérique pour résoudre les équations différentielles
\(\frac{dy}{dt} = -2y\) avec \(y(0) = 1\)
Solution exacte : \(y(t) = e^{-2t}\)
\(y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)\)
Où \(f(t, y) = -2y\) et \(h\) est le pas de temps
Intervalle : \(t \in [0, 1]\)
Pas de temps : \(h = 0.1\)
Condition initiale : \(y_0 = 1\)
\(y_1 = y_0 + h \cdot (-2y_0) = 1 + 0.1 \cdot (-2 \cdot 1) = 1 - 0.2 = 0.8\)
\(y_2 = y_1 + h \cdot (-2y_1) = 0.8 + 0.1 \cdot (-2 \cdot 0.8) = 0.8 - 0.16 = 0.64\)
\(y_3 = y_2 + h \cdot (-2y_2) = 0.64 + 0.1 \cdot (-2 \cdot 0.64) = 0.64 - 0.128 = 0.512\)
À \(t = 0.3\) : \(y_{\text{exacte}} = e^{-2 \cdot 0.3} = e^{-0.6} \approx 0.549\)
\(y_{\text{Euler}} = 0.512\), erreur relative = \(\frac{|0.549 - 0.512|}{0.549} \approx 6.7\%\)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def euler_method(dydt, y0, t):
y = np.zeros(len(t))
y[0] = y0
for i in range(1, len(t)):
h = t[i] - t[i-1]
y[i] = y[i-1] + h * dydt(t[i-1], y[i-1])
return y
def dydt(t, y):
return -2 * y
t = np.linspace(0, 1, 11) # 11 points de 0 à 1
y0 = 1
y_euler = euler_method(dydt, y0, t)
# Solution exacte
y_exact = np.exp(-2 * t)
plt.plot(t, y_euler, 'o-', label='Euler')
plt.plot(t, y_exact, '-', label='Exacte')
plt.legend()
plt.xlabel('Temps')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Comparaison Euler vs Solution Exacte')
plt.grid(True)
plt.show()La méthode d'Euler résout l'équation différentielle avec une erreur relative de 6.7%, illustrant la nature approximative des méthodes numériques.
• Méthode d'Euler : \(y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n)\)
• Ordre 1 : Erreur proportionnelle à \(h\)
• Stabilité : Condition de pas suffisamment petit
- Bissection : Divise l'intervalle en deux parties égales (convergence garantie)
- Newton-Raphson : Utilise la tangente pour converger rapidement (conditionnelle)
- Sécante : Approxime la dérivée par différences (pas de dérivée requise)
- Euler : Intégration des équations différentielles (ordre 1)
- Runge-Kutta : Méthodes d'intégration d'ordre supérieur
- La convergence n'est pas garantie pour toutes les méthodes dans tous les cas
- La vitesse de convergence varie selon la méthode choisie
- Le choix du pas de discrétisation influence la précision
- Les erreurs d'arrondi peuvent s'accumuler dans les calculs itératifs
- La stabilité numérique est essentielle pour les équations différentielles
- Ordre de convergence : Vitesse à laquelle l'erreur diminue
- Stabilité : Sensibilité aux erreurs d'arrondi
- Complexité : Nombre d'opérations par itération
- Conditions d'application : Hypothèses requises pour la validité
- Les méthodes numériques fournissent des solutions approchées aux équations
- Chaque méthode a ses avantages et limitations spécifiques
- La précision dépend du nombre d'itérations et du pas de calcul
- La vérification des résultats est essentielle pour garantir la validité
- Les outils informatiques facilitent l'implémentation des méthodes numériques
