Méthodes Numériques
Méthode d'Euler
Runge-Kutta
Newton-Raphson
Bisection
\( y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n) \)
Méthode d'Euler
Équation différentielle :
dy/dt = -ky
Solution analytique: y(t) = y₀e^(-kt)
Méthode d'Euler: yₙ₊₁ = yₙ - k·h·yₙ
Solution analytique: y(t) = y₀e^(-kt)
Méthode d'Euler: yₙ₊₁ = yₙ - k·h·yₙ
Système d'équations :
dx/dt = f(x,y,t)
dy/dt = g(x,y,t)
Méthode RK4 pour précision
dy/dt = g(x,y,t)
Méthode RK4 pour précision
Algorithmes de Base
Discrétisation
Itération
Convergence
Stabilité
Définitions Clés
Discrétisation: Transformation continue → discret
Pas de temps: Intervalle h entre deux calculs
Ordre de précision: Erreur proportionnelle à h^n
Formules Importantes
Euler explicite: yₙ₊₁ = yₙ + hf(tₙ,yₙ)
Newton-Raphson: xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ)
Applications et Exemples
Refroidissement Newtonien
Mouvement d'un véhicule
Circuit RC
Poutre en flexion
Systèmes oscillants
Exemples Concrets
Circuit RC :
dv/dt = (E-v)/RC
Méthode d'Euler: vₙ₊₁ = vₙ + (E-vₙ)·dt/RC
Constante de temps τ = RC
Méthode d'Euler: vₙ₊₁ = vₙ + (E-vₙ)·dt/RC
Constante de temps τ = RC
Refroidissement :
dT/dt = -k(T-T∞)
T(t) = T∞ + (T₀-T∞)e^(-kt)
Simulation numérique
T(t) = T∞ + (T₀-T∞)e^(-kt)
Simulation numérique
Pendule simple :
d²θ/dt² = -(g/l)sin(θ)
Réécriture: dω/dt = -(g/l)sin(θ)
dθ/dt = ω
Réécriture: dω/dt = -(g/l)sin(θ)
dθ/dt = ω
Critères de Performance
\( Erreur = |y_{analytique} - y_{numérique}| \)
Erreur absolue
\( Erreur_{relative} = \frac{|y_{num} - y_{ref}|}{|y_{ref}|} \times 100\% \)
Erreur relative
Analyse de convergence :
Euler: Ordre 1 (erreur ~ h)
RK2: Ordre 2 (erreur ~ h²)
RK4: Ordre 4 (erreur ~ h⁴)
RK2: Ordre 2 (erreur ~ h²)
RK4: Ordre 4 (erreur ~ h⁴)
Critères de stabilité :
Condition CFL pour équations
Critère de von Neumann
Domaine de stabilité
Critère de von Neumann
Domaine de stabilité
Bonnes Pratiques
Choisir un pas adapté
Vérifier la convergence
Analyser les erreurs
Optimiser la performance
