Expérience aléatoire : Action dont le résultat est soumis au hasard mais dont on connaît toutes les issues possibles.
Univers : Ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
- Identifier l'expérience à réaliser
- Lister toutes les issues possibles
- Représenter l'univers comme un ensemble
- Vérifier que toutes les issues sont possibles et distinctes
On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6
Le dé peut tomber sur la face 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
L'univers Ω est l'ensemble de toutes ces issues : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chaque face du dé correspond à une issue distincte et toutes sont possibles
L'univers de cette expérience est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Universalité : L'univers contient toutes les issues possibles
• Distinctivité : Les issues doivent être distinctes
• Exhaustivité : Toutes les issues possibles sont incluses
Issue : Résultat possible d'une expérience aléatoire. Une issue est un élément de l'univers.
On lance une pièce de monnaie
La pièce peut tomber sur pile ou face
On peut noter P pour pile et F pour face
L'univers Ω est l'ensemble des deux issues : Ω = {P, F}
On peut aussi noter Ω = {pile, face} ou Ω = {0, 1} (selon convention)
L'univers de cette expérience est Ω = {P, F} ou Ω = {pile, face}
• Clarté : Les issues doivent être clairement identifiables
• Concision : On peut utiliser des abréviations (P, F)
• Unicité : L'univers est unique pour une expérience donnée
Expérience composée : Expérience qui combine plusieurs expériences simples. L'univers est formé de couples d'issues.
On lance deux dés à six faces (un rouge et un bleu)
Chaque dé peut tomber sur une face de 1 à 6
On s'intéresse au couple (résultat du dé rouge, résultat du dé bleu)
Les issues sont des couples : (1,1), (1,2), ..., (1,6), (2,1), ..., (6,6)
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), ..., (6,6)}
Il y a 6 × 6 = 36 issues possibles
L'univers est Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}} avec 36 issues possibles
• Ordre : (1,2) ≠ (2,1) car les dés sont distinguables
• Produit cartésien : Ω = {1,2,3,4,5,6} × {1,2,3,4,5,6}
• Cardinal : Pour n et m issues possibles, cardinal = n × m
Modélisation : Décrire mathématiquement une expérience aléatoire en identifiant l'univers et les événements.
Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule verte
On tire une boule au hasard
On peut tirer une boule rouge, une boule bleue ou une boule verte
On peut noter R pour rouge, B pour bleu, V pour vert
Ω = {R, B, V}
Si on distingue les boules de même couleur : Ω = {R₁, R₂, R₃, B₁, B₂, V₁}
Si on ne distingue pas les boules de même couleur : Ω = {R, B, V}
Si on les distingue : Ω = {R₁, R₂, R₃, B₁, B₂, V₁}
• Distinction : Dépend du contexte de l'expérience
• Équiprobabilité : Les issues peuvent avoir des probabilités différentes
• Précision : La modélisation doit refléter le contexte
Événement : Sous-ensemble de l'univers Ω. Un événement est réalisé lorsque l'issue de l'expérience lui appartient.
On lance un dé à six faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un nombre pair"
A = {2, 4, 6}
B : "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4"
B = {4, 5, 6}
C : "Obtenir un multiple de 3"
C = {3, 6}
Tous les événements sont des sous-ensembles de Ω
A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}, C = {3, 6}
• Événement : Sous-ensemble de l'univers
• Réalisation : Un événement est réalisé si l'issue appartient à cet événement
• Inclusion : Tout événement est inclus dans Ω
Expérience composée : Expérience qui combine plusieurs expériences simples successives ou simultanées.
On lance une pièce de monnaie, puis on tire une carte d'un jeu de 32 cartes
Expérience 1 : Lancer de pièce → Ω₁ = {P, F}
Expérience 2 : Tirage d'une carte → Ω₂ = {7♣, 8♣, ..., As♠} (32 cartes)
L'univers est le produit cartésien : Ω = Ω₁ × Ω₂
Ω = {(P, 7♣), (P, 8♣), ..., (P, As♠), (F, 7♣), (F, 8♣), ..., (F, As♠)}
Cardinal(Ω) = Cardinal(Ω₁) × Cardinal(Ω₂) = 2 × 32 = 64
(P, Roi♥) : pile et roi de cœur
(F, 10♦) : face et 10 de diamant
Ω = {(p,c) | p ∈ {P,F}, c ∈ {32 cartes}} avec 64 issues possibles
• Produit cartésien : Pour deux expériences indépendantes
• Cardinal : Cardinal(Ω₁ × Ω₂) = Cardinal(Ω₁) × Cardinal(Ω₂)
• Issues composées : Chaque issue est un couple d'issues simples
Cardinal : Nombre d'éléments d'un ensemble fini. Pour un univers, c'est le nombre total d'issues possibles.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Card(Ω) = 6
Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}} → Card(Ω) = 6 × 6 = 36
Sans remise : Card(Ω) = 52 × 51 = 2652
Avec remise : Card(Ω) = 52 × 52 = 2704
Chaque pièce a 2 issues possibles → Card(Ω) = 2ⁿ
Pour des expériences indépendantes : Card(Ω) = Card(Ω₁) × Card(Ω₂) × ... × Card(Ωₙ)
Le cardinal de l'univers dépend de l'expérience et se calcule en multipliant les cardinaux des expériences simples
• Produit cartésien : Pour des expériences indépendantes
• Suite d'expériences : Multiplier les cardinaux
• Principe multiplicatif : Cardinal = produit des cardinaux
Tirage avec remise : Chaque objet est remis après tirage, donc les tirages sont indépendants.
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5
On tire successivement 2 boules avec remise
Après chaque tirage, la boule est remise dans l'urne
À chaque tirage, toutes les boules sont disponibles
Chaque tirage peut donner 1, 2, 3, 4 ou 5
Les issues sont des couples (premier tirage, second tirage)
Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5}}
Ω = {(1,1), (1,2), ..., (1,5), (2,1), ..., (5,5)}
Card(Ω) = 5 × 5 = 25
Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5}} avec 25 issues possibles
• Avec remise : Les tirages sont indépendants
• Identique : Chaque tirage a les mêmes issues possibles
• Cardinal : nᵏ pour k tirages parmi n objets
Modélisation : Traduction d'une situation réelle en langage mathématique probabiliste.
Une machine produit des pièces métalliques. Chaque pièce est soit conforme (C), soit non conforme (NC).
On prélève 3 pièces successivement.
Examiner une pièce : résultat possible = C ou NC
Examiner 3 pièces successivement
Chaque issue est une suite de 3 résultats : (première pièce, deuxième pièce, troisième pièce)
Ω = {(x₁, x₂, x₃) | xᵢ ∈ {C, NC} pour i = 1, 2, 3}
Ω = {(C,C,C), (C,C,NC), (C,NC,C), (C,NC,NC), (NC,C,C), (NC,C,NC), (NC,NC,C), (NC,NC,NC)}
Card(Ω) = 2³ = 8
Ω = {(x₁, x₂, x₃) | xᵢ ∈ {C, NC}} avec 8 issues possibles
• Contexte : Identifier les éléments essentiels du problème
• Abstraction : Traduire en termes probabilistes
• Modélisation : Représenter l'univers de manière mathématique
Application complète : Description complète d'une expérience aléatoire : univers, événements, etc.
On lance simultanément un dé à six faces et une pièce de monnaie
Dé : Ω₁ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pièce : Ω₂ = {P, F}
Ω = Ω₁ × Ω₂ = {(i,r) | i ∈ {1,2,3,4,5,6}, r ∈ {P,F}}
Ω = {(1,P), (1,F), (2,P), (2,F), (3,P), (3,F), (4,P), (4,F), (5,P), (5,F), (6,P), (6,F)}
Card(Ω) = 6 × 2 = 12
A : "Obtenir un nombre pair" = {(2,P), (2,F), (4,P), (4,F), (6,P), (6,F)}
B : "Obtenir pile" = {(1,P), (2,P), (3,P), (4,P), (5,P), (6,P)}
C : "Obtenir 3 et face" = {(3,F)}
A ∩ B = {(2,P), (4,P), (6,P)} : "Obtenir un nombre pair et pile"
A ∪ B = {(1,P), (2,P), (2,F), (3,P), (4,P), (4,F), (5,P), (6,P), (6,F)} : "Obtenir un nombre pair ou pile"
Univers : Ω = {(i,r) | i ∈ {1,2,3,4,5,6}, r ∈ {P,F}}, Card(Ω) = 12
Événements : A = "pair", B = "pile", C = {(3,F)}, etc.
• Complétude : Décrire entièrement l'expérience
• Universalité : Identifier l'univers complet
• Événements : Définir des sous-ensembles pertinents
