Étendue : \(e = x_{max} - x_{min}\) où \(x_{max}\) est la plus grande valeur et \(x_{min}\) la plus petite.
- Identifier la plus grande valeur de la série (\(x_{max}\))
- Identifier la plus petite valeur de la série (\(x_{min}\))
- Calculer la différence : \(e = x_{max} - x_{min}\)
- Exprimer le résultat dans l'unité de la série
Série : 12, 8, 15, 10, 20, 7, 18, 14, 16, 11
Valeur maximale : \(x_{max} = 20\)
Valeur minimale : \(x_{min} = 7\)
\(e = x_{max} - x_{min} = 20 - 7 = 13\)
L'étendue de cette série est de 13 unités
L'étendue est \(e = 13\)
• Formule : \(e = x_{max} - x_{min}\)
• Identification : Trouver les valeurs extrêmes dans la série
• Unité : L'étendue s'exprime dans la même unité que les données
Écart interquartile : \(EI = Q_3 - Q_1\) où \(Q_1\) est le premier quartile et \(Q_3\) le troisième quartile.
Série ordonnée : 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35
n = 15 (impair)
Rang de Q₁ = (n+1)/4 = (15+1)/4 = 4
Q₁ = 4ème valeur = 10
Rang de Q₃ = 3×(n+1)/4 = 3×(15+1)/4 = 12
Q₃ = 12ème valeur = 28
EI = Q₃ - Q₁ = 28 - 10 = 18
L'écart interquartile est \(EI = 18\)
• Formule : \(EI = Q_3 - Q_1\)
• Position Q₁ : Rang = (n+1)/4
• Position Q₃ : Rang = 3×(n+1)/4
Tableau d'effectifs : Utilisation des effectifs cumulés pour déterminer l'étendue et l'écart interquartile.
| Valeur | Effectif | Effectif cumulé |
|---|---|---|
| 8 | 3 | 3 |
| 10 | 5 | 8 |
| 12 | 7 | 15 |
| 14 | 4 | 19 |
| 16 | 1 | 20 |
Valeur maximale = 16, Valeur minimale = 8
\(e = 16 - 8 = 8\)
Effectif total : N = 20
Position de Q₁ = (N+1)/4 = 21/4 = 5.25
Position de Q₃ = 3×(N+1)/4 = 63/4 = 15.75
Q₁ se situe entre la 5ème et la 6ème valeur
5ème valeur = 10, 6ème valeur = 10 (car effectif cumulé de 10 = 8)
Donc Q₁ = 10
Q₃ se situe entre la 15ème et la 16ème valeur
15ème valeur = 12, 16ème valeur = 14
Q₃ = 12 + 0.75×(14-12) = 12 + 1.5 = 13.5
EI = Q₃ - Q₁ = 13.5 - 10 = 3.5
Étendue : \(e = 8\), Écart interquartile : \(EI = 3.5\)
• Étendue : \(e = x_{max} - x_{min}\)
• Effectifs cumulés : Permettent de localiser les quartiles
• Écart interquartile : \(EI = Q_3 - Q_1\)
Sensibilité : L'étendue est très sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à l'écart interquartile.
Série A : 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20
Valeur minimale = 10, Valeur maximale = 20
Étendue = 20 - 10 = 10
n = 7 (impair)
Q₁ = 4ème valeur = 14, Q₃ = 14ème valeur = 18
Écart interquartile = 18 - 14 = 4
Série B : 10, 12, 14, 15, 16, 18, 100
Valeur minimale = 10, Valeur maximale = 100
Étendue = 100 - 10 = 90
Q₁ = 4ème valeur = 14, Q₃ = 14ème valeur = 18 (inchangé !)
Écart interquartile = 18 - 14 = 4 (inchangé !)
L'étendue est passée de 10 à 90 (×9) avec l'ajout de la valeur extrême
L'écart interquartile est resté constant à 4
L'étendue est très sensible aux valeurs extrêmes (passée de 10 à 90), tandis que l'écart interquartile est robuste (inchangé à 4)
• Sensibilité : L'étendue dépend des valeurs extrêmes
• Robustesse : L'écart interquartile ne dépend pas des valeurs extrêmes
• Comparaison : Utiliser l'écart interquartile pour comparer la dispersion de manière fiable
Contexte : Interprétation des indicateurs de dispersion dans une situation concrète.
On étudie le temps de trajet domicile-travail (en minutes) pour 40 employés d'une entreprise.
Données : Q₁ = 25 min, Me = 35 min, Q₃ = 45 min
EI = Q₃ - Q₁ = 45 - 25 = 20 minutes
Les 50% des employés situés au centre de la distribution ont des temps de trajet qui diffèrent de 20 minutes maximum
50% des employés ont un temps de trajet compris entre 25 et 45 minutes
Un écart interquartile de 20 minutes indique une dispersion modérée du temps de trajet
Dans cette entreprise, la moitié des employés a un temps de trajet compris entre 25 et 45 minutes, soit une dispersion de 20 minutes pour les 50% des valeurs centrales.
• Interprétation : L'écart interquartile mesure la dispersion des 50% des valeurs centrales
• Contexte : Toujours interpréter les indicateurs dans le contexte de l'étude
• Signification : L'écart interquartile permet de comparer la dispersion entre plusieurs séries
Fréquences cumulées : Utilisation des fréquences cumulées pour déterminer les quartiles et calculer l'écart interquartile.
| Classe | Fréquence | Fréquence cumulée |
|---|---|---|
| [0;10[ | 0.15 | 0.15 |
| [10;20[ | 0.25 | 0.40 |
| [20;30[ | 0.30 | 0.70 |
| [30;40[ | 0.20 | 0.90 |
| [40;50[ | 0.10 | 1.00 |
Q₁ correspond à la valeur pour laquelle la fréquence cumulée atteint 0.25
La fréquence cumulée 0.25 se trouve dans la classe [10;20[
Q₁ = 10 + ((0.25-0.15)/0.25) × 10 = 10 + (0.10/0.25) × 10 = 10 + 4 = 14
Q₃ correspond à la valeur pour laquelle la fréquence cumulée atteint 0.75
La fréquence cumulée 0.75 se trouve dans la classe [30;40[
Q₃ = 30 + ((0.75-0.70)/0.20) × 10 = 30 + (0.05/0.20) × 10 = 30 + 2.5 = 32.5
EI = Q₃ - Q₁ = 32.5 - 14 = 18.5
L'écart interquartile est \(EI = 18.5\)
• Fréquences cumulées : Permettent de localiser les quartiles
• Interpolation : Q = borne_inf + ((fréq_voulue - fréq_prec)/fréq_dans_classe) × amplitude
• Écart interquartile : \(EI = Q_3 - Q_1\)
Série continue : Calcul de l'étendue et de l'écart interquartile pour une série continue.
| Classe | Effectif | Effectif cumulé |
|---|---|---|
| [0;5[ | 2 | 2 |
| [5;10[ | 5 | 7 |
| [10;15[ | 8 | 15 |
| [15;20[ | 6 | 21 |
| [20;25[ | 4 | 25 |
La classe la plus petite est [0;5[, la plus grande est [20;25[
Valeur minimale = 0, Valeur maximale = 25
\(e = 25 - 0 = 25\)
Effectif total : N = 25
Position de Q₁ = (N+1)/4 = 26/4 = 6.5
Position de Q₃ = 3×(N+1)/4 = 78/4 = 19.5
Q₁ se trouve dans la classe [5;10[ car l'effectif cumulé dépasse 6.5 à cette classe
Q₁ = 5 + ((6.5-2)/5) × 5 = 5 + (4.5/5) × 5 = 5 + 4.5 = 9.5
Q₃ se trouve dans la classe [15;20[ car l'effectif cumulé dépasse 19.5 à cette classe
Q₃ = 15 + ((19.5-15)/6) × 5 = 15 + (4.5/6) × 5 = 15 + 3.75 = 18.75
EI = Q₃ - Q₁ = 18.75 - 9.5 = 9.25
Étendue : \(e = 25\), Écart interquartile : \(EI = 9.25\)
• Étendue : \(e = borne_{max} - borne_{min}\)
• Localisation : Trouver la classe qui contient le quartile
• Interpolation : Q = borne_inf + ((pos - eff_cum_prec)/eff_dans_classe) × amplitude
Comparaison : Utilisation de l'écart interquartile pour comparer la dispersion de deux séries.
Série A : Q₁ = 12, Q₃ = 28 → EI_A = 28 - 12 = 16
Série B : Q₁ = 15, Q₃ = 25 → EI_B = 25 - 15 = 10
Écart interquartile de la série A = 16
Écart interquartile de la série B = 10
La série A a un écart interquartile plus grand que la série B
Donc la série A a une dispersion plus importante que la série B
Les 50% des valeurs centrales de la série A sont plus dispersées que celles de la série B
La série A présente une plus grande variabilité que la série B
La série A a un écart interquartile de 16, tandis que la série B a un écart interquartile de 10. La série A est donc plus dispersée que la série B.
• Comparaison : Plus l'écart interquartile est grand, plus la dispersion est importante
• Robustesse : L'écart interquartile est plus fiable que l'étendue pour comparer la dispersion
• Interprétation : L'écart interquartile mesure la dispersion des 50% des valeurs centrales
Intervalle interquartile : \([Q_1; Q_3]\) contient 50% des valeurs de la série.
Pour une série statistique, on a déterminé : Q₁ = 18 et Q₃ = 34
EI = Q₃ - Q₁ = 34 - 18 = 16
Intervalle interquartile = [Q₁; Q₃] = [18; 34]
50% des valeurs de la série sont comprises entre 18 et 34
Les 50% des valeurs centrales de la série sont dispersées sur une amplitude de 16 unités
Plus l'écart interquartile est petit, plus les valeurs centrales sont concentrées
L'intervalle interquartile est [18; 34], ce qui signifie que 50% des valeurs sont comprises entre 18 et 34. L'écart interquartile est de 16.
• Intervalle interquartile : \([Q_1; Q_3]\) contient 50% des valeurs
• Écart interquartile : \(EI = Q_3 - Q_1\) mesure la dispersion centrale
• Interprétation : Plus l'écart interquartile est petit, plus la concentration est forte
Application : Étude comparative de la dispersion dans un contexte réel.
Deux classes de seconde ont passé le même test de mathématiques. On souhaite comparer la dispersion des notes.
Classe A : Q₁ = 8, Me = 12, Q₃ = 16
Classe B : Q₁ = 10, Me = 12, Q₃ = 18
Classe A : EI_A = 16 - 8 = 8
Classe B : EI_B = 18 - 10 = 8
Les deux classes ont le même écart interquartile (EI = 8)
Elles ont donc la même dispersion pour les 50% des valeurs centrales
Classe A : [8; 16], Classe B : [10; 18]
Les intervalles interquartiles sont décalés mais ont la même amplitude
Les deux classes ont la même variabilité dans les notes centrales, mais la classe B a des notes plus élevées dans l'ensemble
Les deux classes ont la même dispersion des résultats mais des niveaux différents
Les deux classes ont le même écart interquartile de 8, ce qui signifie une dispersion équivalente des 50% des notes centrales. Cependant, la classe B a des notes plus élevées en général.
• Comparaison : L'écart interquartile permet de comparer la dispersion
• Interprétation : Deux séries peuvent avoir le même écart interquartile mais des niveaux différents
• Contexte : Toujours interpréter les résultats dans le contexte de l'étude
