Médiane : Valeur du caractère qui partage la série ordonnée en deux parties égales.
- Ordonner la série de données par ordre croissant
- Dénombrer le nombre total de valeurs (n)
- Si n est impair, la médiane est la valeur de rang (n+1)/2
- Si n est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang n/2 et (n/2)+1
Série : 8, 12, 5, 14, 10, 7, 15
Série ordonnée : 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15
n = 7 (impair)
Rang = (n+1)/2 = (7+1)/2 = 4
La médiane est la 4ème valeur : Me = 10
La médiane est Me = 10
• Tri : Toujours ordonner la série avant de calculer la médiane
• Rang impair : Pour n impair, la médiane est le terme de rang (n+1)/2
• Interprétation : 50% des valeurs sont inférieures ou égales à 10
Médiane : Pour une série de n valeurs avec n pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang n/2 et (n/2)+1.
Série : 6, 9, 12, 8, 14, 11, 7, 10
Série ordonnée : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14
n = 8 (pair)
Valeur de rang n/2 = 8/2 = 4 → 9
Valeur de rang (n/2)+1 = 4+1 = 5 → 10
Me = (9 + 10) / 2 = 9.5
La médiane est Me = 9.5
• Tri : Ordonner la série par ordre croissant
• Rang pair : Pour n pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales
• Interprétation : 50% des valeurs sont inférieures ou égales à 9.5
Premier quartile : Valeur qui sépare les 25% les plus petits de la série des 75% restants.
Série ordonnée : 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17
n = 10
Rang de Q₁ = (n+1)/4 = (10+1)/4 = 11/4 = 2.75
Q₁ se situe entre la 2ème et la 3ème valeur
2ème valeur = 5, 3ème valeur = 7
Q₁ = 5 + 0.75 × (7 - 5) = 5 + 1.5 = 6.5
Le premier quartile est Q₁ = 6.5
• Formule : Rang de Q₁ = (n+1)/4
• Interpolation : Si le rang n'est pas entier, interpoler linéairement
• Interprétation : 25% des valeurs sont inférieures ou égales à 6.5
Troisième quartile : Valeur qui sépare les 75% les plus petits de la série des 25% restants.
Série ordonnée : 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17
n = 10
Rang de Q₃ = 3×(n+1)/4 = 3×(10+1)/4 = 33/4 = 8.25
Q₃ se situe entre la 8ème et la 9ème valeur
8ème valeur = 14, 9ème valeur = 15
Q₃ = 14 + 0.25 × (15 - 14) = 14 + 0.25 = 14.25
Le troisième quartile est Q₃ = 14.25
• Formule : Rang de Q₃ = 3×(n+1)/4
• Interpolation : Si le rang n'est pas entier, interpoler linéairement
• Interprétation : 75% des valeurs sont inférieures ou égales à 14.25
Tableau d'effectifs : Utilisation des effectifs cumulés pour déterminer les quartiles.
Notes : 8, 10, 12, 14, 16
Effectifs : 3, 5, 7, 4, 1
Effectif total : N = 3 + 5 + 7 + 4 + 1 = 20
Effectifs cumulés : 3, 8, 15, 19, 20
Position de Q₁ : (N+1)/4 = 21/4 = 5.25
Position de Me : (N+1)/2 = 21/2 = 10.5
Position de Q₃ : 3×(N+1)/4 = 63/4 = 15.75
Q₁ : Position 5.25 → Entre 5ème et 6ème valeur → 10
Me : Position 10.5 → Entre 10ème et 11ème valeur → 12
Q₃ : Position 15.75 → Entre 15ème et 16ème valeur → 14
Q₁ = 10, Me = 12, Q₃ = 14
• Effectifs cumulés : Permettent de situer les quartiles dans la série
• Positions : Utiliser les formules (N+1)/4, (N+1)/2, 3×(N+1)/4
• Interprétation : Q₁ = 10 signifie que 25% des valeurs sont ≤ 10
Tableau cumulé : Utilisation des fréquences ou effectifs cumulés pour déterminer la médiane.
| Classe | Effectif | Effectif cumulé |
|---|---|---|
| [0;5[ | 8 | 8 |
| [5;10[ | 12 | 20 |
| [10;15[ | 10 | 30 |
| [15;20[ | 5 | 35 |
N = 35
Position de la médiane = (N+1)/2 = (35+1)/2 = 18
La 18ème valeur se trouve dans la classe [5;10[ car l'effectif cumulé dépasse 18 à cette classe
Effectif cumulé avant la classe médiane = 8
Effectif dans la classe médiane = 12
Amplitude de la classe = 5
Me = 5 + ((18-8)/12) × 5 = 5 + (10/12) × 5 = 5 + 4.17 = 9.17
La médiane est Me ≈ 9.17
• Position : Médiane = (N+1)/2 pour N impair
• Localisation : Trouver la classe qui contient la médiane
• Interpolation : Me = borne_inf + ((pos_med - eff_cum_prec)/eff_dans_classe) × amplitude
Série continue : Pour une série continue, on utilise les classes et les effectifs pour déterminer les quartiles.
| Classe | Effectif | Effectif cumulé |
|---|---|---|
| [0;10[ | 5 | 5 |
| [10;20[ | 8 | 13 |
| [20;30[ | 12 | 25 |
| [30;40[ | 7 | 32 |
| [40;50[ | 3 | 35 |
N = 35
Position de Q₁ = (N+1)/4 = 36/4 = 9
Position de Q₃ = 3×(N+1)/4 = 108/4 = 27
Q₁ se trouve dans la classe [10;20[ car l'effectif cumulé dépasse 9 à cette classe
Q₁ = 10 + ((9-5)/8) × 10 = 10 + (4/8) × 10 = 10 + 5 = 15
Q₃ se trouve dans la classe [30;40[ car l'effectif cumulé dépasse 27 à cette classe
Q₃ = 30 + ((27-25)/7) × 10 = 30 + (2/7) × 10 = 30 + 2.86 = 32.86
Q₁ = 15, Q₃ ≈ 32.86
• Formules : Positions = (N+1)/4, 3×(N+1)/4
• Interpolation : Q = borne_inf + ((pos - eff_cum_prec)/eff_dans_classe) × amplitude
• Localisation : Trouver la classe qui contient le quartile
Comparaison : La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
Série : 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 100
Série ordonnée : 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 100
n = 10 (pair), donc Me = (10 + 11)/2 = 10.5
\(\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 100}{10} = \frac{189}{10} = 18.9\)
La médiane (10.5) est beaucoup plus proche de la majorité des valeurs que la moyenne (18.9)
La valeur extrême 100 a fortement influencé la moyenne mais pas la médiane
La médiane Me = 10.5 est plus représentative de la série que la moyenne \(\bar{x} = 18.9\) à cause de la valeur extrême
• Insensibilité : La médiane est insensible aux valeurs extrêmes
• Sensibilité : La moyenne est influencée par les valeurs extrêmes
• Choix : La médiane est souvent préférable pour des séries avec des valeurs aberrantes
Interprétation : Les quartiles permettent de comprendre la répartition des données dans un contexte.
Temps de travail hebdomadaire (en heures) pour 40 employés : Q₁ = 35h, Me = 38h, Q₃ = 42h
25% des employés travaillent 35h ou moins par semaine
50% des employés travaillent 38h ou moins par semaine (la moitié travaille plus, la moitié travaille moins)
75% des employés travaillent 42h ou moins par semaine
EIQ = Q₃ - Q₁ = 42 - 35 = 7h
Cela signifie que 50% des employés ont un temps de travail compris entre 35h et 42h
Un écart interquartile de 7h indique une dispersion modérée du temps de travail
25% des employés travaillent ≤ 35h, 50% travaillent ≤ 38h, 75% travaillent ≤ 42h. La moitié des employés ont un temps de travail entre 35h et 42h.
• Interprétation : Chaque quartile représente un pourcentage de la population
• Écart interquartile : EIQ = Q₃ - Q₁ mesure la dispersion centrale
• Contexte : Toujours interpréter les résultats dans le contexte de l'étude
Étude complète : Application de toutes les notions de statistique descriptive avec médiane et quartiles.
On étudie les salaires mensuels bruts (en €) de 50 employés : 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700, 2800, 2900, 3000, 3100, 3200, 3300, 3400, 3500, 3600, 3700, 3800, 3900, 4000, 4100, 4200, 4300, 4400, 4500, 4600, 4700, 4800, 4900, 5000, 5100, 5200, 5300, 5400, 5500, 5600, 5700, 5800, 5900, 6000, 6100, 6200, 6300, 6400, 6500, 6600, 6700
Les données sont déjà ordonnées par ordre croissant
n = 50 (pair), donc Me = (valeur de rang 25 + valeur de rang 26)/2
Valeur de rang 25 = 3000, valeur de rang 26 = 3100
Me = (3000 + 3100)/2 = 3050€
Position de Q₁ = (n+1)/4 = 51/4 = 12.75
Q₁ = valeur de rang 12 + 0.75 × (valeur de rang 13 - valeur de rang 12)
Q₁ = 2400 + 0.75 × (2500 - 2400) = 2400 + 75 = 2475€
Position de Q₃ = 3×(n+1)/4 = 153/4 = 38.25
Q₃ = valeur de rang 38 + 0.25 × (valeur de rang 39 - valeur de rang 38)
Q₃ = 4600 + 0.25 × (4700 - 4600) = 4600 + 25 = 4625€
EIQ = Q₃ - Q₁ = 4625 - 2475 = 2150€
50% des employés ont un salaire compris entre 2475€ et 4625€
La médiane est de 3050€, ce qui signifie que la moitié des employés gagnent moins de 3050€
Pour les 50 employés : Q₁ = 2475€, Me = 3050€, Q₃ = 4625€, EIQ = 2150€
• Processus complet : Suivre toutes les étapes d'une analyse statistique
• Calcul précis : Appliquer correctement les formules de position
• Interprétation : Donner du sens aux indicateurs calculés
