Médiane et Quartiles | Mathématiques Seconde - Statistiques et Probabilités

Quand l'effectif total n est impair :

1. 1 Ordonner les valeurs par ordre croissant
2. 2 Trouver la position de la médiane : \(\frac{n+1}{2}\)
3. 3 La médiane est la valeur située à cette position

Quand l'effectif total n est pair :

1. 1 Ordonner les valeurs par ordre croissant
2. 2 Trouver les positions des deux valeurs centrales : \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2}+1\)
3. 3 La médiane est la moyenne de ces deux valeurs

Les quartiles sont des valeurs qui partagent une série statistique ordonnée en quatre parties égales :

• Le premier quartile Q1 : 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales
• Le second quartile Q2 : 50% des valeurs lui sont inférieures ou égales (c'est la médiane)
• Le troisième quartile Q3 : 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales

Les positions des quartiles sont déterminées par :

• Q1 : position \(\frac{n}{4}\) (ou arrondi au supérieur si n/4 n'est pas entier)
• Q2 : position \(\frac{n}{2}\) (c'est la médiane)
• Q3 : position \(\frac{3n}{4}\) (ou arrondi au supérieur si 3n/4 n'est pas entier)

Série : 3, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 30

Effectif total : n = 12

Valeurs déjà ordonnées

Position de Q1 : \(\frac{12}{4} = 3\)

Q1 est la 3ème valeur : 8

Positions centrales : \(\frac{12}{2} = 6\) et \(\frac{12}{2}+1 = 7\)

Valeurs centrales : 15 et 16

Q2 = \(\frac{15 + 16}{2} = 15.5\)

Position de Q3 : \(\frac{3 \times 12}{4} = 9\)

Q3 est la 9ème valeur : 20

Valeurs initiales : 158, 162, 155, 170, 165, 159, 163, 168, 160, 164, 167

Valeurs ordonnées : 155, 158, 159, 160, 162, 163, 164, 165, 167, 168, 170

Effectif total : n = 11 (impair)

Position de la médiane : \(\frac{11+1}{2} = 6\)

La médiane est la 6ème valeur : 163 cm

Position de Q1 : \(\frac{11}{4} = 2.75\), donc on arrondit à 3

Q1 est la 3ème valeur : 159 cm

Position de Q3 : \(\frac{3 \times 11}{4} = 8.25\), donc on arrondit à 9

Q3 est la 9ème valeur : 167 cm

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) montre visuellement la distribution des données :

• La boîte va du premier quartile (Q1) au troisième quartile (Q3)
• Une ligne à l'intérieur de la boîte indique la médiane (Q2)
• Les "moustaches" étendent jusqu'aux valeurs minimale et maximale
• Ce graphique permet de voir la dispersion des données et d'identifier les valeurs aberrantes

La médiane est une mesure de position centrale qui divise la série en deux parties égales. Elle est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne :

• Elle résiste aux valeurs aberrantes
• Elle est utile pour comparer des séries de données
• Elle est particulièrement pertinente pour les distributions asymétriques

Les quartiles permettent d'analyser la dispersion des données :

• Q1 (premier quartile) : borne inférieure du premier quart
• Q2 (médiane) : borne inférieure du deuxième quart
• Q3 (troisième quartile) : borne inférieure du troisième quart
• Écart interquartile = Q3 - Q1 : mesure de dispersion robuste

Les quartiles sont utilisés pour analyser la répartition des revenus :

• Le premier quartile représente les 25% les plus pauvres
• Le troisième quartile représente les 75% les plus riches
• L'écart interquartile mesure l'inégalité de revenus

Les quartiles permettent d'analyser les résultats scolaires :

• Identifier les élèves en difficulté (en dessous de Q1)
• Repérer les meilleurs élèves (au-dessus de Q3)
• Analyser la dispersion des résultats

Les quartiles sont utilisés pour analyser des données démographiques :

• Répartition des âges dans une population
• Temps d'attente dans des services publics
• Distribution des tailles ou poids dans une population

Voici les salaires mensuels (en €) de 10 employés d'une entreprise :

2200, 1800, 2500, 2100, 2300, 1900, 2400, 2000, 2600, 2700

Calculer la médiane et les quartiles de cette série. Interpréter les résultats.

Valeurs initiales : 2200, 1800, 2500, 2100, 2300, 1900, 2400, 2000, 2600, 2700

Valeurs ordonnées : 1800, 1900, 2000, 2100, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700

Effectif total : n = 10 (pair)

Positions centrales : \(\frac{10}{2} = 5\) et \(\frac{10}{2}+1 = 6\)

Valeurs centrales : 2200 et 2300

La médiane est : \(\frac{2200 + 2300}{2} = 2250\) €

Position de Q1 : \(\frac{10}{4} = 2.5\), donc on arrondit à 3

Q1 est la 3ème valeur : 2000 €

Position de Q3 : \(\frac{3 \times 10}{4} = 7.5\), donc on arrondit à 8

Q3 est la 8ème valeur : 2500 €

- 50% des employés gagnent moins de 2250 €

- 25% des employés gagnent moins de 2000 €

- 75% des employés gagnent moins de 2500 €

- L'écart interquartile est de 500 € (2500 - 2000), ce qui indique une certaine dispersion des salaires.

• Valeur qui partage la série en deux parties égales
• 50% des valeurs lui sont inférieures ou égales
• Calcul : position \(\frac{n+1}{2}\) si n impair, ou moyenne des valeurs en position \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2}+1\) si n pair

• Q1 : 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales
• Q2 : 50% des valeurs lui sont inférieures ou égales (c'est la médiane)
• Q3 : 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales
• Écart interquartile = Q3 - Q1 : mesure de dispersion robuste

• Moins sensibles aux valeurs extrêmes que la moyenne
• Permettent d'analyser la distribution des données
• Utile pour comparer des séries de données