Méthode d'Eratosthène
\( R = \frac{d}{\theta} \)
Calcul du rayon terrestre
Définition: Eratosthène a mesuré le rayon terrestre vers 240 av. J.-C. en comparant les ombres projetées à Syène et Alexandrie.
Loi de proportionnalité: L'angle d'ombre est proportionnel à la distance angulaire entre deux points sur une sphère.
Données d'Eratosthène :
Distance Alexandrie-Syène: 5000 stades
Angle d'ombre: 7.2°
Circonférence: 250000 stades (~40000 km)
Angle d'ombre: 7.2°
Circonférence: 250000 stades (~40000 km)
Calcul moderne :
d = 800 km, θ = 7.2°
R = 800 / (7.2 × π/180) ≈ 6366 km
R = 800 / (7.2 × π/180) ≈ 6366 km
Méthodes historiques
Ératosthène: méthode des ombres
Posidonios: observations stellaires
Al-Biruni: méthode trigonométrique
Méridienne de Delambre: triangulation
Principe de base
Rayons solaires: parallèles à grande échelle
Mesure d'angles: astuce géométrique
Distance connue: base de calcul
Proportionnalité: relation angle-distance
Formules et calculs
\( C = 2\pi R \)
Circonférence terrestre
\( \theta = \frac{360° \times d}{C} \)
Angle correspondant à une distance
\( d = R \times \theta \)
Distance sur la surface sphérique
Méthodes modernes
GPS: triangulation spatiale
Télémétrie laser: précision millimétrique
Gravimétrie: mesure de la pesanteur
Parallaxe stellaire: distances célestes
VLBI: très longue base
Applications et précisions
Précision historique:
• Eratosthène: erreur < 15%
• Al-Biruni: erreur < 5%
• Méridienne Delambre: 1m de précision
• Al-Biruni: erreur < 5%
• Méridienne Delambre: 1m de précision
Unités anciennes:
• Stade égyptien: ~157.5 m
• Mille romain: 1481 m
• Lieue: variable selon pays
• Mille romain: 1481 m
• Lieue: variable selon pays
Mesures modernes:
• Rayon équatorial: 6378.137 km
• Rayon polar: 6356.752 km
• Rayon moyen: 6371.0 km
• Rayon polar: 6356.752 km
• Rayon moyen: 6371.0 km
Erreurs Fréquentes
Erreur 1:
Confondre rayon et diamètre de la Terre
Erreur 2:
Négliger l'aplatissement dans les calculs
Erreur 3:
Oublier la sphéricité dans la méthode
