Modèles Probabilistes | Enseignement Scientifique 1ère

Dans un modèle uniforme, toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité de se produire. C'est le cas pour les lancers de dés équilibrés, les lancers de pièces équilibrées, ou les tirages au hasard dans un ensemble fini.

Si une expérience aléatoire a n issues équiprobables, alors la probabilité de chaque issue est 1/n. Pour un événement A composé de k issues favorables, la probabilité est :

• Lancer d'un dé à six faces équilibré : P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
• Lancer d'une pièce équilibrée : P(pile) = P(face) = 1/2
• Tirage au hasard d'une carte dans un jeu de 52 cartes : P(carte) = 1/52

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues possibles : succès ou échec. On note p la probabilité de succès et q = 1 - p la probabilité d'échec. Par exemple, lancer une pièce de monnaie (pile/succès, face/échec) est une épreuve de Bernoulli.

• Issue S (succès) avec probabilité p
• Issue E (échec) avec probabilité q = 1 - p
• 0 ≤ p ≤ 1 et 0 ≤ q ≤ 1
• p + q = 1

• Lancer une pièce : pile (p = 0.5) ou face (q = 0.5)
• Test d'un produit : conforme (p) ou non conforme (q = 1-p)
• Réponse à une question de QCM : bonne réponse (p) ou mauvaise réponse (q = 1-p)

Le modèle binomial s'applique lorsqu'on répète n fois une épreuve de Bernoulli de manière indépendante. On s'intéresse alors au nombre de succès obtenus au cours des n répétitions. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n et p.

La probabilité d'obtenir exactement k succès sur n répétitions est donnée par :

Où \(\binom{n}{k}\) est le coefficient binomial.

On lance 5 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 piles ? Ici, n = 5, k = 3, p = 0.5.

Le modèle hypergéométrique s'applique lorsqu'on effectue des tirages sans remise dans une population finie contenant deux types d'objets. Contrairement au modèle binomial, les tirages ne sont pas indépendants car la composition de la population change après chaque tirage.

Si une population de taille N contient K objets d'un type A et N-K objets d'un type B, et que l'on tire n objets sans remise, alors la probabilité d'obtenir exactement k objets de type A est :

Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules bleues. On tire 4 boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges ? Ici, N = 15, K = 10, n = 4, k = 2.

• Modèle uniforme : si toutes les issues sont équiprobables
• Modèle de Bernoulli : si expérience à deux issues
• Modèle binomial : si répétition indépendante d'épreuves de Bernoulli
• Modèle hypergéométrique : si tirage sans remise dans une population bicolore

Nous avons une situation de répétition d'épreuves de Bernoulli (chaque ampoule est bonne ou défectueuse), avec une probabilité constante de succès (être défectueuse) p = 0.05. Il s'agit donc d'un modèle binomial de paramètres n = 10 et p = 0.05.

Nous voulons calculer P(X = 2) où X est le nombre d'ampoules défectueuses.

La probabilité d'avoir exactement 2 ampoules défectueuses est d'environ 7.46%.

En génétique, les modèles probabilistes sont utilisés pour prédire la transmission de caractères héréditaires. Le modèle binomial peut être utilisé pour prédire le nombre d'enfants porteurs d'un gène spécifique dans une famille.

En physique quantique, les événements sont intrinsèquement probabilistes. Les modèles probabilistes décrivent la probabilité de trouver une particule dans un certain état.

Les modèles probabilistes sont utilisés pour étudier la propagation des maladies, l'efficacité des traitements et les risques sanitaires.

• Utiliser le modèle binomial au lieu du modèle hypergéométrique pour des tirages sans remise
• Supposer l'équiprobabilité sans justification
• Confondre les paramètres des modèles
• Ne pas vérifier les conditions d'application d'un modèle

• Identifier clairement le type d'expérience
• Vérifier les conditions d'application du modèle
• Considérer l'indépendance des épreuves
• Relire la formulation du problème

On répète 8 fois une épreuve de Bernoulli (lancer de pièce) de manière indépendante. Chaque lancer a deux issues : pile (succès) avec probabilité p = 0.5, ou face (échec) avec probabilité q = 0.5. Il s'agit donc d'un modèle binomial de paramètres n = 8 et p = 0.5.

Nous voulons calculer P(X = 5) où X est le nombre de piles obtenus.

La probabilité d'obtenir exactement 5 piles est de 21.875%.

On effectue un tirage sans remise dans une population finie contenant deux types d'objets (rouges et bleues). Il s'agit donc d'un modèle hypergéométrique. On a : N = 20 (total), K = 12 (rouges), n = 5 (tirés), k = 3 (voulu).

La probabilité d'obtenir exactement 3 billes rouges est d'environ 39.73%.

Appliqué quand toutes les issues sont équiprobables : P(A) = k/n

Expérience à deux issues : succès (p) et échec (1-p)

Répétition indépendante de n épreuves de Bernoulli : P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Tirage sans remise : P(X=k) = [C(K,k) × C(N-K,n-k)] / C(N,n)