Loi Uniforme
P(X = k) = \frac{1}{n}
Loi uniforme sur {1,2,...,n}
Succès
Échec
Équiprobabilité
Tous les résultats
Même probabilité
P = 1/n
Exemple de loi uniforme :
• Lancer d'un dé équilibré :
P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = 1/6
• Tirage au hasard dans une urne avec boules identiques
P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = 1/6
• Tirage au hasard dans une urne avec boules identiques
Schéma de Bernoulli
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Loi binomiale B(n,p)
| k | P(X=k) |
|---|---|
| 0 | (1-p)ⁿ |
| 1 | np(1-p)ⁿ⁻¹ |
| 2 | C(n,2)p²(1-p)ⁿ⁻² |
Caractéristiques
Conditions du schéma :
• n épreuves identiques et indépendantes
• Chaque épreuve a 2 issues (succès/échec)
• Probabilité de succès p constante
• X = nombre de succès obtenus
• Chaque épreuve a 2 issues (succès/échec)
• Probabilité de succès p constante
• X = nombre de succès obtenus
Paramètres :
• E(X) = np
• V(X) = np(1-p)
• σ(X) = √[np(1-p)]
• V(X) = np(1-p)
• σ(X) = √[np(1-p)]
Applications des Modèles
Loi binomiale
Loi uniforme
Épreuves répétées
Estimation
Prévisions
Conseils & Astuces
Astuce 1 :
Pour reconnaître une loi binomiale : identifier les paramètres n et p
Astuce 2 :
Utiliser le coefficient binomial : C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]
Astuce 3 :
Pour les calculs, utiliser la calculatrice ou tableur
Astuce 4 :
Vérifier que la somme des probabilités fait 1
Exemples d'Applications
Jeux
- • Lancers répétés
- • Jeux de pile ou face
- • Loto
Sciences
- • Tests médicaux
- • Expériences
- • Sondages
Économie
- • Qualité industrielle
- • Assurance
- • Marketing
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre les rôles de n et p dans la loi binomiale
Erreur 2 :
Oublier de vérifier les conditions du schéma de Bernoulli
Erreur 3 :
Ne pas reconnaître qu'une situation suit une loi uniforme
Erreur 4 :
Calculer des probabilités > 1 ou < 0
