Concept de taux de variation | Mathématiques 1ère

• 1 Comprendre la notion de taux de variation
• 2 Différencier taux de variation moyen et instantané
• 3 Calculer le taux de variation moyen
• 4 Interpréter graphiquement le taux de variation
• 5 Passer du taux de variation instantané au nombre dérivé

Le taux de variation mesure la rapidité avec laquelle une grandeur change par rapport à une autre grandeur.

Il exprime le rapport entre la variation de la grandeur d'arrivée et la variation de la grandeur de départ.

En mathématiques, on distingue deux types de taux de variation :

• Le taux de variation moyen sur un intervalle
• Le taux de variation instantané en un point

• Vitesse moyenne : distance parcourue / temps écoulé
• Taux de croissance : augmentation / valeur initiale
• Pente d'une droite : variation de y / variation de x

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et soient a et b deux réels de I avec a ≠ b.

Le taux de variation moyen de f entre a et b est le quotient :

Le taux de variation moyen entre a et b est égal au coefficient directeur de la droite (AB) reliant les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)).

Cela représente la pente de la corde reliant les deux points sur la courbe.

1 Calcul de f(1) :

2 Calcul de f(3) :

3 Application de la formule :

Entre x = 1 et x = 3, la fonction f augmente en moyenne de 6 unités pour chaque unité d'accroissement de x.

Le coefficient directeur de la corde reliant les points (1, 2) et (3, 14) est égal à 6.

Le taux de variation instantané d'une fonction f en un point a est la limite du taux de variation moyen entre a et a+h lorsque h tend vers 0.

Cela correspond à la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Le taux de variation instantané de f en a est défini par :

Si cette limite existe, elle est appelée le nombre dérivé de f en a, noté f'(a).

Le taux de variation instantané en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

C'est la pente de la courbe en ce point.

1 Expression du taux de variation entre x₀ = 2 et x₀ + h = 2 + h :

2 Calcul de f(2+h) et f(2) :

3 Simplification :

4 Calcul de la limite quand h tend vers 0 :

Le taux de variation instantané de f en x₀ = 2 est égal à 4.

Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe de f au point (2, 4) est égale à 4.

On dit que f'(2) = 4 (le nombre dérivé de f en 2 est 4).

Si la limite du taux de variation instantané existe et est finie, on dit que la fonction f est dérivable en a.

La valeur de cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, notée f'(a).

• Numérique : f'(a) est le taux de variation instantané de f en a
• Graphique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en a
• Physique : f'(a) peut représenter une vitesse instantanée

Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, on peut définir une nouvelle fonction f' qui à chaque x associe f'(x).

Cette fonction f' est appelée fonction dérivée de f.

Si x(t) est la position d'un objet en mouvement au temps t :

• Le taux de variation moyen entre t₁ et t₂ est la vitesse moyenne
• Le taux de variation instantané en t₀ est la vitesse instantanée

Exemple : x(t) = 5t² + 2t, alors x'(t) = 10t + 2

À t = 3, la vitesse instantanée est x'(3) = 32 unités/temps

Si C(q) est le coût total de fabrication de q objets :

• Le taux de variation moyen entre q₁ et q₂ est le coût moyen d'augmentation
• Le taux de variation instantané en q₀ est le coût marginal

Le coût marginal est le coût de fabrication d'un objet supplémentaire

Si P(t) est la population d'une espèce au temps t :

• Le taux de variation moyen entre t₁ et t₂ est la croissance moyenne
• Le taux de variation instantané en t₀ est le taux de croissance instantané

Permet d'analyser la dynamique des populations

Calcul de h(2) :

Calcul de h(6) :

Taux de variation moyen :

Expression du taux de variation entre t₀ = 4 et t₀ + h = 4 + h :

Calcul de h(4+h) et h(4) :

Simplification :

Limite quand h tend vers 0 :

• Entre le 2e et le 6e jour, la plante a grandi en moyenne de 6 cm par jour
• Au 4e jour exactement, la plante grandit instantanément à la vitesse de 6 cm par jour
• Le taux de croissance instantané est égal au taux de croissance moyen sur cet intervalle

• Se calcule entre deux points distincts d'une fonction
• Formule : [f(b) - f(a)] / (b - a)
• Correspond au coefficient directeur de la corde
• Représente la pente moyenne sur un intervalle

• Se calcule en un point unique
• Formule : lim[h→0] [f(a+h) - f(a)] / h
• Correspond au coefficient directeur de la tangente
• Est égal au nombre dérivé f'(a)

Le taux de variation instantané est la base de la notion de dérivée. La dérivation permet de transformer des questions complexes de variation en calculs précis.

La fonction dérivée f' donne le taux de variation instantané en chaque point du domaine de définition.