Définition du nombre dérivé | Mathématiques 1ère

• 1 Comprendre la notion de nombre dérivé
• 2 Savoir calculer un nombre dérivé
• 3 Interpréter graphiquement le nombre dérivé
• 4 Reconnaître une fonction dérivable
• 5 Appliquer le nombre dérivé à des situations concrètes

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et soient a et b deux réels de I avec a ≠ b.

Le taux de variation moyen de f entre a et b est le quotient :

Le taux de variation instantané de f en a est la limite du taux de variation moyen entre a et a+h lorsque h tend vers 0 :

Le nombre dérivé de f en a est le taux de variation instantané en a, lorsqu'il existe.

On le note f'(a).

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a.

On dit que f est dérivable en a si la limite suivante existe et est finie :

Cette limite est appelée nombre dérivé de f en a, noté f'(a).

On peut aussi écrire le nombre dérivé comme :

Cette formulation est équivalente à la précédente en posant x = a + h.

Le nombre dérivé f'(a) existe si et seulement si :

• f est définie en a
• La limite du taux de variation existe
• La limite est un nombre réel (pas infini)

Si f est dérivable en a, alors f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

Autrement dit, f'(a) est la pente de la tangente en A(a, f(a)).

Si f est dérivable en a, l'équation de la tangente au point A(a, f(a)) est :

Cette droite passe par le point A(a, f(a)) et a pour coefficient directeur f'(a).

La tangente est la droite qui "effleure" la courbe au point d'abscisse a.

Elle est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage du point a.

1 On applique la définition :

2 On calcule f(2+h) et f(2) :

3 On substitue dans le taux de variation :

4 On simplifie :

5 On calcule la limite :

f'(2) = 4

Cela signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point (2, 4) est égal à 4.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.

Lorsque f est dérivable sur I, on peut définir une nouvelle fonction f' qui à chaque x ∈ I associe le nombre dérivé f'(x).

Cette fonction f' est appelée fonction dérivée de f.

On note : x ↦ f'(x)

On a vu que f'(2) = 4.

De manière générale, pour f(x) = x², on peut montrer que f'(x) = 2x.

Donc la fonction dérivée de f est la fonction x ↦ 2x.

Une fonction f n'est pas dérivable en a dans les cas suivants :

• f n'est pas continue en a
• f est continue mais la courbe admet un point anguleux en a
• f est continue mais la courbe admet une tangente verticale en a
• La limite du taux de variation est infinie

Soit f(x) = |x|, la fonction valeur absolue.

En x₀ = 0, la fonction n'est pas dérivable car elle admet un point anguleux.

À gauche de 0 : f'(x) = -1

À droite de 0 : f'(x) = 1

Il n'y a pas de tangente unique en 0.

Quand une fonction n'est pas dérivable en un point, sa courbe n'admet pas de tangente unique en ce point.

Il peut y avoir un point de rebroussement, une cassure, ou une tangente verticale.

Si x(t) est la position d'un objet en mouvement au temps t :

• Le taux de variation moyen entre t₁ et t₂ est la vitesse moyenne
• Le nombre dérivé x'(t₀) est la vitesse instantanée au temps t₀

Exemple : Si x(t) = 5t² + 2t, alors x'(t) = 10t + 2

À t = 3, la vitesse instantanée est x'(3) = 32 unités/temps

Si C(q) est le coût total de fabrication de q objets :

• Le nombre dérivé C'(q₀) est le coût marginal
• Il représente le coût de fabrication d'un objet supplémentaire

Permet d'optimiser la production

Si P(t) est la population d'une espèce au temps t :

• Le nombre dérivé P'(t₀) est le taux de croissance instantané
• Il permet d'analyser la dynamique des populations

Essentiel pour la gestion des ressources naturelles

On applique la définition du nombre dérivé :

Calcul de T(0) :

Calcul de T(h) :

Taux de variation :

En utilisant le développement limité de e^(-0.1h) ≈ 1 - 0.1h + o(h) :

Donc T'(0) = -8

T'(0) = -8 signifie que :

• À l'instant initial (t = 0), la température diminue instantanément
• Le taux de refroidissement est de 8°C par minute
• Le coefficient directeur de la tangente en t = 0 est -8

L'équation de la tangente au point (0, T(0)) = (0, 100) est :

Donc l'équation de la tangente est : y = -8x + 100

• f'(a) = lim[h→0] [f(a+h) - f(a)]/h
• Le nombre dérivé est le taux de variation instantané
• Il n'existe que si la limite est finie

• Numérique : f'(a) mesure la vitesse de variation locale
• Graphique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente
• Physique : f'(a) peut représenter une vitesse instantanée

Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f' est la fonction qui à chaque x associe f'(x).

Elle permet de calculer le nombre dérivé en n'importe quel point de l'intervalle.