Définition & Limite
\( f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
Nombre dérivé en a
\( f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)
Autre formulation
Exemple 1 :
f(x) = x², a = 2
f'(2) = lim[h→0] [(2+h)²-4]/h
= lim[h→0] [4+4h+h²-4]/h
= lim[h→0] (4+h) = 4
f'(2) = lim[h→0] [(2+h)²-4]/h
= lim[h→0] [4+4h+h²-4]/h
= lim[h→0] (4+h) = 4
Exemple 2 :
f(x) = 3x+1, a = 5
f'(5) = 3 (constante)
Taux de variation constant
f'(5) = 3 (constante)
Taux de variation constant
Interprétation géométrique
Coefficient directeur de la tangente
Pente de la courbe en a
Limite des coefficients sécants
Taux de variation instantané
Conditions d'existence
f continue en a
Limite existe et finie
Courbe lisse en a
\( y = f'(a)(x-a) + f(a) \)
Équation de la tangente en a
Applications & Conseils
Calculer la vitesse instantanée
Trouver la tangente à une courbe
Analyser la croissance locale
Utiliser la limite du taux
Lien avec la dérivabilité
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre nombre dérivé et fonction dérivée
Erreur 2 :
Calculer sans vérifier l'existence
Erreur 3 :
Oublier la limite dans la définition
