Applications physiques et biologiques | Mathématiques 1ère

• 1 Comprendre les applications physiques du nombre dérivé
• 2 Découvrir les applications biologiques du nombre dérivé
• 3 Modéliser des phénomènes naturels avec les mathématiques
• 4 Interpréter les résultats dans le contexte physique ou biologique
• 5 Résoudre des problèmes concrets liés aux sciences

Si x(t) est la position d'un objet en mouvement au temps t :

• La vitesse moyenne entre t₁ et t₂ est : [x(t₂) - x(t₁)]/(t₂ - t₁)
• La vitesse instantanée en t₀ est : x'(t₀) = lim[h→0][x(t₀+h) - x(t₀)]/h

Le nombre dérivé représente donc la vitesse instantanée.

Si v(t) est la vitesse d'un objet au temps t :

• L'accélération instantanée en t₀ est : v'(t₀)
• C'est aussi la dérivée seconde de la position : x''(t₀)

L'accélération mesure la variation de la vitesse.

• Intensité électrique : i(t) = dq/dt (dérivée de la charge)
• Puissance : P(t) = dW/dt (dérivée du travail)
• Flux thermique : φ(t) = dQ/dt (dérivée de la chaleur)

1 Calcul de la vitesse : x'(t) = 6t² - 12t + 4

2 Calcul de l'accélération : x''(t) = 12t - 12

3 Valeurs à t = 2 s :

• À t = 2 s, le véhicule se déplace à 4 m/s
• À t = 2 s, le véhicule accélère à raison de 12 m/s²
• Le véhicule est en mouvement accéléré

Si P(t) est la population d'une espèce au temps t :

• Le taux de croissance moyen entre t₁ et t₂ est : [P(t₂) - P(t₁)]/(t₂ - t₁)
• Le taux de croissance instantané en t₀ est : P'(t₀)

Le nombre dérivé représente la vitesse de variation de la population.

Si C(t) est la concentration d'une substance dans le sang :

• C'(t) représente la vitesse de variation de la concentration
• Permet d'analyser l'absorption ou l'élimination

Utile en pharmacocinétique et en toxicologie.

• Taux de photosynthèse : variation de CO₂ ou O₂
• Taux de respiration : variation de gaz respiratoires
• Taux de réaction enzymatique : variation de substrat

1 Calcul du taux de croissance : P'(t) = 100 × 0.2 × e^(0.2t) = 20e^(0.2t)

2 Valeur du taux de croissance à t = 5 h :

3 Population à t = 5 h :

• À t = 5 h, la population croît à raison de 54 400 bactéries par heure
• À t = 5 h, il y a environ 272 000 bactéries
• La croissance est exponentielle : le taux de croissance augmente avec la population

La température T(t) d'un objet en refroidissement suit la loi : T(t) = T_ext + (T₀ - T_ext)e^(-kt)

• T_ext : température extérieure
• T₀ : température initiale de l'objet
• k : constante de refroidissement

Le taux de refroidissement est donné par T'(t).

Pour T(t) = T_ext + (T₀ - T_ext)e^(-kt) :

Le taux de refroidissement est proportionnel à l'écart de température.

• Flux thermique : φ = dQ/dt
• Capacité calorifique : C = dQ/dT
• Conductivité thermique : dépend du gradient de température

1 Calcul du taux de refroidissement : T'(t) = 60 × (-0.1) × e^(-0.1t) = -6e^(-0.1t)

2 Taux initial (t = 0) :

3 Température à t = 10 min :

• Initialement, le café refroidit à raison de 6°C par minute
• Au bout de 10 minutes, la température est de 42.1°C
• Le taux de refroidissement diminue avec le temps

Si C(t) est la concentration d'un médicament dans le sang :

• C'(t) représente la vitesse d'absorption ou d'élimination
• Les pics de concentration correspondent aux maximums de C(t)
• Le temps de demi-vie dépend de la vitesse d'élimination

Essentiel pour déterminer les doses et les intervalles d'administration.

Si V(t) est le volume de sang pompé par le cœur :

• V'(t) représente le débit cardiaque instantané
• Permet d'analyser la fonction cardiaque

Utilisé dans les diagnostics médicaux.

Si N(t) est le nombre de cellules tumorales :

• N'(t) représente le taux de prolifération
• Utiles pour évaluer l'efficacité des traitements

Modèles mathématiques pour prédire l'évolution.

La saturation initiale est de 100%.

Le taux de variation initial est de -1.5 %/h.

Le signe négatif indique que la saturation diminue au début du traitement.

Le patient perd de l'oxygène dans son sang au début du traitement.

À long terme, la saturation tend vers 95%.

• Vitesse : dérivée de la position
• Accélération : dérivée de la vitesse
• Intensité : dérivée de la charge
• Puissance : dérivée du travail

• Taux de croissance : dérivée de la population
• Concentration : dérivée de la quantité de substance
• Photosynthèse : variation de gaz
• Réaction enzymatique : variation de substrat

Le nombre dérivé f'(a) représente la vitesse de variation instantanée de f en a.

Il s'agit du taux de changement le plus précis possible au point a.

Graphiquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en a.