Interprétation des dérivées | Mathématiques 1ère - Enseignement scientifique
Introduction
Découvrez les fondements de l'analyse mathématique
Contexte historique des dérivées
Naissance du concept
Le concept de dérivée a été développé indépendamment par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz au XVIIe siècle. Initialement utilisé pour résoudre des problèmes de tangentes et de mouvement, il est devenu un outil fondamental de l'analyse mathématique.
Newton l'a introduit dans le contexte de la physique pour étudier les vitesses et accélérations, tandis que Leibniz l'a formalisé comme un outil mathématique.
Définition du nombre dérivé
Le nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a. On dit que f est dérivable en a si la limite suivante existe et est finie :
Cette limite, notée f'(a), est appelée nombre dérivé de f en a.
Interprétation géométrique
La tangente
Le nombre dérivé f'(a) représente la pente de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
L'équation de cette tangente est :
Interprétation cinématique
Vitesse instantanée
Si f(t) représente la position d'un objet mobile à l'instant t, alors :
- f'(t) représente la vitesse instantanée à l'instant t
- f''(t) représente l'accélération instantanée à l'instant t
Exemple : Si f(t) = t², alors f'(t) = 2t est la vitesse à l'instant t.
Un mobile se déplace selon la loi horaire s(t) = 3t² + 2t + 1 (en mètres).
Sa vitesse instantanée à l'instant t est s'(t) = 6t + 2 (en m/s).
À t = 2s, la vitesse est s'(2) = 6×2 + 2 = 14 m/s.
Interprétation économique
Coût marginal
Si C(x) représente le coût total de fabrication de x unités d'un produit, alors :
- C'(x) est le coût marginal, c'est-à-dire le coût de fabrication de l'unité supplémentaire
- Il représente l'accroissement de coût pour produire une unité de plus
Soit C(x) = 0.01x³ - 0.3x² + 5x + 100 (en euros), le coût de fabrication de x objets.
Le coût marginal est C'(x) = 0.03x² - 0.6x + 5.
Pour x = 10, C'(10) = 0.03×100 - 0.6×10 + 5 = 2 euros.
Cela signifie que produire la 11ème unité coûtera environ 2 euros de plus.
Taux de variation moyen vs instantané
Comparaison
Entre deux points a et b, le taux de variation moyen de f est :
C'est le coefficient directeur de la droite (AB) où A(a; f(a)) et B(b; f(b)).
Le taux de variation instantané en a est la limite du taux de variation moyen :
C'est la valeur du nombre dérivé en a.
Exemple de calcul de dérivée
Calcul pas à pas
Fonction dérivée
Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui à tout x de I associe f'(x) est appelée fonction dérivée de f.
Elle est notée f' et se calcule à l'aide des règles de dérivation.
- Si f(x) = k (constante), alors f'(x) = 0
- Si f(x) = x, alors f'(x) = 1
- Si f(x) = x², alors f'(x) = 2x
- Si f(x) = xⁿ, alors f'(x) = nx^(n-1)
- Si f(x) = u(x) + v(x), alors f'(x) = u'(x) + v'(x)
Application à l'étude des variations
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I
- Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I
- Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I
Soit f(x) = x² - 4x + 3 sur ℝ.
f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⟺ x = 2
f'(x) > 0 ⟺ x > 2 (f croissante sur ]2; +∞[)
f'(x) < 0 ⟺ x < 2 (f décroissante sur ]-∞; 2[)
Exercice 1 : Calcul de dérivée
Calculer la dérivée
Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x² - 2x + 1.
1. Calculer la dérivée f'(x).
2. Calculer f'(2).
3. Interpréter géométriquement le résultat.
2 f'(2) = 6×2 - 2 = 10
3 La pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2 est égale à 10.
Exercice 2 : Application cinématique
Mouvement rectiligne
La position d'un mobile en mouvement rectiligne est donnée par s(t) = 2t³ - 6t² + 4t (en mètres), où t est exprimé en secondes.
1. Calculer la vitesse instantanée à l'instant t = 1s.
2. Calculer l'accélération à l'instant t = 1s.
v(1) = 6×1² - 12×1 + 4 = -2 m/s
2 a(t) = s''(t) = 12t - 12
a(1) = 12×1 - 12 = 0 m/s²
Exercice 3 : Application économique
Coût de production
Le coût de fabrication de x objets est donné par C(x) = 0.1x² + 2x + 50 (en euros).
1. Calculer le coût marginal pour x = 10.
2. Interpréter ce résultat.
3. Calculer le coût exact de fabrication du 11ème objet.
C'(10) = 0.2×10 + 2 = 4 euros
2 Produire une unité supplémentaire à partir de 10 unités coûte environ 4 euros.
3 C(11) - C(10) = (0.1×121 + 2×11 + 50) - (0.1×100 + 2×10 + 50) = 84.1 - 80 = 4.1 euros
Interprétation graphique approfondie
Lien entre f et f'
- Quand f est croissante, f' est positive
- Quand f est décroissante, f' est négative
- Quand f admet un extremum local, f' s'annule
- Quand f' est croissante, f est convexe
- Quand f' est décroissante, f est concave
Points critiques et extrema
Recherche d'extrema
Un point critique de f est un point a où f'(a) = 0 ou f'(a) n'existe pas.
Les extrema locaux se trouvent parmi les points critiques.
Soit a un point critique de f tel que f'(a) = 0 :
- Si f''(a) > 0, alors f admet un minimum local en a
- Si f''(a) < 0, alors f admet un maximum local en a
- Si f''(a) = 0, on ne peut pas conclure
Résumé
Points clés
- f'(a) = lim[h→0] [f(a+h) - f(a)]/h
- Représente la pente de la tangente en a
- Donne le taux de variation instantané en a
- Géométrique : pente de la tangente
- : vitesse instantanée
- Économique : coût marginal
- Étude des variations d'une fonction
- Recherche d'extrema
- Modélisation de phénomènes physiques ou économiques
Conclusion
Félicitations !
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