Variations d'une fonction : Le signe de f' détermine le sens de variation de f.
f(x) = x² - 4x + 3, donc f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2
f'(x) > 0 ⇔ 2x - 4 > 0 ⇔ x > 2
f'(x) < 0 ⇔ 2x - 4 < 0 ⇔ x < 2
f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 2[ et strictement croissante sur ]2 ; +∞[
En x = 2, f'(x) s'annule en changeant de signe, donc f admet un minimum local
f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 2[ et strictement croissante sur ]2 ; +∞[. Elle admet un minimum en x=2 égal à -1.
• Signe de f' : f'(x) > 0 ⇒ f croissante, f'(x) < 0 ⇒ f décroissante
• Extremum : Annulation de f' avec changement de signe
• Valeur de l'extremum : f(2) = -1
Parabole décroissante puis croissante : f(x) = -x² + 6x - 5.
f(x) = -x² + 6x - 5, donc f'(x) = -2x + 6
f'(x) = 0 ⇔ -2x + 6 = 0 ⇔ x = 3
f'(x) > 0 ⇔ -2x + 6 > 0 ⇔ x < 3
f'(x) < 0 ⇔ -2x + 6 < 0 ⇔ x > 3
f est strictement croissante sur ]-∞ ; 3[ et strictement décroissante sur ]3 ; +∞[
En x = 3, f'(x) s'annule en changeant de signe, donc f admet un maximum local
f(3) = -9 + 18 - 5 = 4
f est strictement croissante sur ]-∞ ; 3[ et strictement décroissante sur ]3 ; +∞[. Elle admet un maximum en x=3 égal à 4.
• Signe de f' : f'(x) > 0 ⇒ f croissante, f'(x) < 0 ⇒ f décroissante
• Extremum : Changement de signe de f' indique un extremum
• Maximum : f(3) = 4 est le maximum de la fonction
Fonction cubique : f(x) = x³ - 3x² + 2.
f(x) = x³ - 3x² + 2, donc f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2
f'(x) > 0 ⇔ x(x - 2) > 0 ⇔ x ∈ ]-∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[
f'(x) < 0 ⇔ x(x - 2) < 0 ⇔ x ∈ ]0 ; 2[
f est strictement croissante sur ]-∞ ; 0[, strictement décroissante sur ]0 ; 2[, et strictement croissante sur ]2 ; +∞[
En x = 0, f'(x) s'annule en changeant de signe, donc f admet un maximum local
En x = 2, f'(x) s'annule en changeant de signe, donc f admet un minimum local
f(0) = 2 (maximum), f(2) = 8 - 12 + 2 = -2 (minimum)
f est croissante sur ]-∞ ; 0[, décroissante sur ]0 ; 2[, et croissante sur ]2 ; +∞[. Elle admet un maximum en x=0 égal à 2 et un minimum en x=2 égal à -2.
• Signe de f' : Analyse du produit 3x(x - 2)
• Extremums : Changements de signe de f' en x=0 et x=2
• Valeurs des extremums : f(0) = 2 et f(2) = -2
Fonction inverse : f(x) = 1/x sur ]0 ; +∞[.
f(x) = 1/x = x⁻¹, donc f'(x) = -x⁻² = -1/x²
Pour x ∈ ]0 ; +∞[, x² > 0, donc f'(x) = -1/x² < 0
f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
lim[x→0⁺] f(x) = +∞ et lim[x→+∞] f(x) = 0
f'(x) ne s'annule jamais sur ]0 ; +∞[, donc f n'a pas d'extremum sur cet intervalle
f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. Elle n'admet pas d'extremum sur cet intervalle.
• Dérivée inverse : (1/x)' = -1/x²
• Signe de f' : Toujours négatif sur ]0 ; +∞[
• Extremums : f' ne s'annule pas ⇒ pas d'extremum
Fonction racine carrée : f(x) = √x sur [0 ; +∞[.
f(x) = √x = x^(1/2), donc f'(x) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
Pour x ∈ ]0 ; +∞[, √x > 0, donc f'(x) = 1/(2√x) > 0
f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[
f'(0) n'existe pas car f'(x) = 1/(2√x) n'est pas définie en x=0
f'(x) > 0 sur ]0 ; +∞[, donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[
f est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Elle admet un minimum en x=0 égal à 0.
• Dérivée racine : (√x)' = 1/(2√x)
• Signe de f' : Toujours positif sur ]0 ; +∞[
• Minimum global : f(0) = 0 est le minimum de f
Modèle exponentiel de croissance : f(t) = 1000e^(0.2t).
f(t) = 1000e^(0.2t), donc f'(t) = 1000 × 0.2 × e^(0.2t) = 200e^(0.2t)
Pour tout t ∈ ℝ, e^(0.2t) > 0, donc f'(t) = 200e^(0.2t) > 0
f est strictement croissante sur ℝ
La population croît exponentiellement, la vitesse de croissance augmente avec le temps
La vitesse de croissance est proportionnelle à la population : f'(t) = 0.2f(t)
f est strictement croissante sur ℝ. La population croît exponentiellement sans extremum.
• Dérivée exponentielle : (e^(kt))' = ke^(kt)
• Modèle exponentiel : f'(t) = kf(t) (croissance proportionnelle)
• Signe de f' : Toujours positif ⇒ croissance continue
Refroidissement exponentiel : T(t) = 20 + 10e^(-0.1t).
T(t) = 20 + 10e^(-0.1t), donc T'(t) = 0 + 10 × (-0.1) × e^(-0.1t) = -e^(-0.1t)
Pour tout t ≥ 0, e^(-0.1t) > 0, donc T'(t) = -e^(-0.1t) < 0
T est strictement décroissante sur [0 ; +∞[
lim[t→+∞] T(t) = 20 (température ambiante)
La température diminue exponentiellement vers la température ambiante de 20°C
T est strictement décroissante sur [0 ; +∞[. La température tend vers 20°C.
• Dérivée exponentielle : (e^(kt))' = ke^(kt)
• Signe de f' : Toujours négatif ⇒ décroissance continue
• Température ambiante : Valeur limite du refroidissement
Fonction de rendement : C(q) = q³ - 12q² + 60q.
C(q) = q³ - 12q² + 60q, donc C'(q) = 3q² - 24q + 60
C'(q) = 3q² - 24q + 60 = 3(q² - 8q + 20)
Δ = (-8)² - 4(1)(20) = 64 - 80 = -16 < 0
Δ < 0 ⇒ le trinôme n'a pas de racine réelle, donc ne change pas de signe
Puisque le coefficient de q² est positif (3 > 0), C'(q) > 0 pour tout q
C est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Pas d'extremum local.
C est strictement croissante sur [0 ; +∞[. Le rendement augmente continuellement avec la quantité produite.
• Discriminant : Δ = b² - 4ac
• Trinôme sans racine : Signe constant déterminé par le coefficient dominant
• Monotonie : C'(q) > 0 ⇒ fonction croissante
Fonction sinusoïdale : F(t) = 70 + 10sin(πt/30).
F(t) = 70 + 10sin(πt/30), donc F'(t) = 0 + 10 × (π/30) × cos(πt/30) = (π/3)cos(πt/30)
F'(t) = 0 ⇔ cos(πt/30) = 0 ⇔ πt/30 = π/2 + kπ ⇔ t = 15 + 30k
F'(t) > 0 quand cos(πt/30) > 0, c'est-à-dire quand πt/30 ∈ ]-π/2 + 2kπ ; π/2 + 2kπ[
Donc t ∈ ]-15 + 60k ; 15 + 60k[
La fonction admet des maximums en t = 15 + 60k et des minimums en t = 45 + 60k
Maximum : F(15) = 70 + 10sin(π/2) = 70 + 10 = 80
Minimum : F(45) = 70 + 10sin(3π/2) = 70 - 10 = 60
F est croissante sur ]-15 + 60k ; 15 + 60k[ et décroissante sur ]15 + 60k ; 45 + 60k[. Maximum de 80 bpm et minimum de 60 bpm.
• Dérivée sinus : (sin(kt))' = kcos(kt)
• Signe cosinus : Cosinus positif sur ]-π/2 ; π/2[ modulo 2π
• Extremums : Alternance de maximums et minimums
Fonction de concentration : R(t) = 5te^(-0.1t).
R(t) = 5te^(-0.1t), donc R'(t) = 5e^(-0.1t) + 5t × (-0.1)e^(-0.1t) = 5e^(-0.1t)(1 - 0.1t)
Pour t ≥ 0, e^(-0.1t) > 0, donc le signe de R'(t) est celui de (1 - 0.1t)
R'(t) = 0 ⇔ 1 - 0.1t = 0 ⇔ t = 10
R'(t) > 0 ⇔ 1 - 0.1t > 0 ⇔ t < 10
R'(t) < 0 ⇔ 1 - 0.1t < 0 ⇔ t > 10
R est strictement croissante sur [0 ; 10] et strictement décroissante sur [10 ; +∞[
R admet un maximum en t = 10, R(10) = 50e^(-1) ≈ 18.39
R est croissante sur [0 ; 10] et décroissante sur [10 ; +∞[. La vitesse maximale est atteinte à t=10.
• Dérivée produit : (uv)' = u'v + uv'
• Signe exponentiel : e^(-0.1t) > 0 toujours
• Maximum : Changement de signe de la dérivée
