Vitesse instantanée : v(t) = d'(t), dérivée de la position par rapport au temps.
d(t) = 2t² + 5t, où d est en mètres et t en secondes
v(t) = d'(t) = 4t + 5
v(3) = 4(3) + 5 = 12 + 5 = 17 m/s
À t=3s, la voiture roule à 17 m/s (soit environ 61 km/h)
La vitesse augmente linéairement avec le temps, donc c'est un mouvement uniformément accéléré
La vitesse instantanée à t=3s est de 17 m/s. La vitesse augmente de 4 m/s².
• Vitesse : v(t) = d'(t)
• Accélération : a(t) = v'(t) = d''(t)
• Unités : m/s (mètres par seconde)
Taux de croissance : r(t) = P'(t), dérivée de la population par rapport au temps.
P(t) = 1000e^(0.1t), où P est le nombre d'individus et t en années
r(t) = P'(t) = 1000 × 0.1 × e^(0.1t) = 100e^(0.1t)
r(4) = 100e^(0.1×4) = 100e^0.4 ≈ 149.18 individus/an
À t=4 ans, la population croît d'environ 149 individus par an
Le taux de croissance est proportionnel à la population : r(t) = 0.1P(t)
Le taux de croissance à t=4 ans est d'environ 149 individus/an.
• Taux de croissance : r(t) = P'(t)
• Modèle exponentiel : r(t) = kP(t) avec k=0.1
• Unités : Individus par année
Coût marginal : CM(q) = C'(q), dérivée du coût total par rapport à la quantité.
C(q) = 1000 + 5q + 0.01q², où C est en euros et q en unités
CM(q) = C'(q) = 5 + 0.02q
CM(100) = 5 + 0.02(100) = 5 + 2 = 7 €/unité
CM(500) = 5 + 0.02(500) = 5 + 10 = 15 €/unité
Produire une unité supplémentaire coûte 7€ à q=100 et 15€ à q=500
Le coût marginal est de 7€/unité à q=100 et 15€/unité à q=500.
• Coût marginal : CM(q) = C'(q)
• Interprétation : Coût de production d'une unité supplémentaire
• Modèle quadratique : Coût marginal croissant avec la production
Taux de variation de température : T'(t), dérivée de la température par rapport au temps.
T(t) = 20 + 10e^(-0.2t), où T est en °C et t en minutes
T'(t) = 0 + 10 × (-0.2) × e^(-0.2t) = -2e^(-0.2t)
T'(5) = -2e^(-0.2×5) = -2e^(-1) ≈ -0.736 °C/min
À t=5 min, la température diminue de 0.736°C par minute
La température tend vers 20°C (température ambiante) avec un refroidissement exponentiel
Le taux de variation de température à t=5 min est de -0.736°C/min.
• Taux de variation : T'(t)
• Signe négatif : Indique une diminution de température
• Loi de refroidissement : Proportionnel à l'écart avec la température ambiante
Vitesse de multiplication : N'(t), dérivée du nombre de bactéries par rapport au temps.
N(t) = 100e^(0.5t), où N est le nombre de bactéries et t en heures
N'(t) = 100 × 0.5 × e^(0.5t) = 50e^(0.5t)
N'(0) = 50e^0 = 50 bactéries/h
N'(2) = 50e^(0.5×2) = 50e^1 ≈ 135.9 bactéries/h
Le taux de multiplication augmente exponentiellement avec le temps
Le taux de multiplication est de 50 bactéries/h à t=0 et 136 bactéries/h à t=2h.
• Vitesse de multiplication : N'(t)
• Modèle exponentiel : La vitesse est proportionnelle à la quantité
• Interprétation biologique : Plus de bactéries ⇒ plus de divisions
Variation de fréquence cardiaque : F'(t), dérivée de la fréquence par rapport au temps.
F(t) = 70 + 10sin(πt/30), où F est en battements/min et t en secondes
F'(t) = 0 + 10 × cos(πt/30) × (π/30) = (10π/30)cos(πt/30) = (π/3)cos(πt/30)
F'(0) = (π/3)cos(0) = (π/3) × 1 = π/3 ≈ 1.047 battements/min/s
F'(15) = (π/3)cos(π×15/30) = (π/3)cos(π/2) = (π/3) × 0 = 0
À t=0, la fréquence augmente rapidement (π/3 battements/min/s), à t=15, elle est stationnaire
La variation de fréquence est de π/3 battements/min/s à t=0 et 0 à t=15s.
• Dérivée sinus : (sin(kx))' = kcos(kx)
• Chaîne de dérivation : (sin(u))' = u'cos(u)
• Interprétation : La dérivée s'annule aux extrema de la fonction
Vitesse de croissance : h'(t), dérivée de la hauteur par rapport au temps.
h(t) = 10(1 - e^(-0.2t)), où h est en cm et t en jours
h'(t) = 10(0 - (-0.2)e^(-0.2t)) = 10 × 0.2 × e^(-0.2t) = 2e^(-0.2t)
h'(0) = 2e^0 = 2 × 1 = 2 cm/jour
h'(10) = 2e^(-0.2×10) = 2e^(-2) ≈ 2 × 0.1353 ≈ 0.27 cm/jour
La vitesse de croissance diminue exponentiellement, tendant vers 0
La vitesse de croissance est de 2 cm/jour à t=0 et 0.27 cm/jour à t=10j.
• Vitesse de croissance : h'(t)
• Modèle logistique : Croissance initiale rapide, ralentissement progressif
• Asymptote : La hauteur tend vers 10 cm
Débit : V'(t), dérivée du volume par rapport au temps.
V(t) = 1000 - 2t², où V est en litres et t en minutes
V'(t) = 0 - 2 × 2t = -4t
V'(5) = -4(5) = -20 L/min
Le débit est de -20 L/min, ce qui signifie que le volume diminue de 20 L/min
Le débit augmente en valeur absolue avec le temps (vidange accélérée)
Le débit d'eau est de -20 L/min à t=5 min (signe négatif = vidange).
• Débit : V'(t)
• Signe négatif : Indique une diminution du volume
• Unités : Litres par minute
Variation de concentration : C'(t), dérivée de la concentration par rapport au temps.
C(t) = 5te^(-0.1t), où C est en mg/L et t en heures
C'(t) = 5e^(-0.1t) + 5t × (-0.1)e^(-0.1t) = 5e^(-0.1t) - 0.5te^(-0.1t) = 5e^(-0.1t)(1 - 0.1t)
C'(0) = 5e^0(1 - 0) = 5 × 1 × 1 = 5 mg/L/h
C'(10) = 5e^(-1)(1 - 1) = 5e^(-1) × 0 = 0 mg/L/h
À t=0, la concentration augmente rapidement, à t=10h, elle atteint son maximum
La variation de concentration est de 5 mg/L/h à t=0 et 0 à t=10h.
• Dérivée produit : (uv)' = u'v + uv'
• Annulation : C'(t) = 0 indique un extremum
• Pharmacocinétique : Modèle de distribution et d'élimination
Optimisation : Trouver le maximum d'une fonction de profit P(x) = -2x² + 80x - 500.
P(x) = -2x² + 80x - 500, où x est la quantité produite et P en euros
P'(x) = -4x + 80
P'(x) = 0 ⇒ -4x + 80 = 0 ⇒ x = 20
P'(x) > 0 ⇒ -4x + 80 > 0 ⇒ x < 20
P'(x) < 0 ⇒ -4x + 80 < 0 ⇒ x > 20
P(20) = -2(400) + 80(20) - 500 = -800 + 1600 - 500 = 300 €
Le profit est maximal pour x=20 unités, avec un profit de 300€.
• Optimisation : Chercher les zéros de la dérivée
• Maximum : Changement de signe de + à -
• Profit optimal : x=20 unités ⇒ P=300€
