Suite géométrique : Chaque bactérie se divise en 2 toutes les heures.
u₀ = 100 (nombre initial), q = 2 (chaque bactérie devient 2)
uₙ = 100 × 2ⁿ où n est le nombre d'heures écoulées
u₅ = 100 × 2⁵ = 100 × 32 = 3200 bactéries
u₁₀ = 100 × 2¹⁰ = 100 × 1024 = 102400 bactéries
La suite est croissante car q = 2 > 1, donc croissance exponentielle très rapide
Après 5 heures, il y aura 3200 bactéries. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 2.
• Suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ
• Croissance exponentielle : q > 1 ⇒ suite croissante
• Modélisation biologique : Multiplication proportionnelle à la population
Demi-vie : La quantité de substance est divisée par 2 tous les 5 ans.
u₀ = 1000g (masse initiale), q = 1/2 (division par 2) tous les 5 ans
uₙ = 1000 × (1/2)ⁿ où n est le nombre de périodes de 5 ans
Après 15 ans, n = 15/5 = 3 périodes
u₃ = 1000 × (1/2)³ = 1000 × 1/8 = 125g
Après 25 ans, n = 25/5 = 5 périodes
u₅ = 1000 × (1/2)⁵ = 1000 × 1/32 = 31.25g
La suite est décroissante car q = 1/2 < 1, donc décroissance exponentielle
Après 15 ans, il restera 125g de substance. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1/2.
• Demi-vie : q = 1/2 pour une division par 2
• Décroissance exponentielle : 0 < q < 1 ⇒ suite décroissante
• Constante radioactive : ln(2)/demi-vie
Taux de croissance : La population augmente de 2% par an.
u₀ = 10000 (population initiale), taux = 2% = 0.02
Augmentation de 2% ⇒ multiplication par 1 + 0.02 = 1.02
Donc q = 1.02
uₙ = 10000 × (1.02)ⁿ où n est le nombre d'années
u₁₀ = 10000 × (1.02)¹⁰ = 10000 × 1.219 ≈ 12190 habitants
u₂₀ = 10000 × (1.02)²⁰ = 10000 × 1.486 ≈ 14860 habitants
Après 10 ans, la population sera d'environ 12190 habitants. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.02.
• Taux de croissance : t% ⇒ q = 1 + t/100
• Modèle exponentiel : Croissance proportionnelle à la population
• Application démographique : Modèle de Malthus
Placement financier : Intérêts de 3% par an capitalisés.
u₀ = 1000€ (capital initial), taux = 3% = 0.03
Intérêts de 3% ⇒ multiplication par 1 + 0.03 = 1.03
Donc q = 1.03
uₙ = 1000 × (1.03)ⁿ où n est le nombre d'années
u₅ = 1000 × (1.03)⁵ = 1000 × 1.159 ≈ 1159.27€
u₁₀ = 1000 × (1.03)¹⁰ = 1000 × 1.344 ≈ 1343.92€
Après 5 ans, le capital sera de 1159.27€. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.03.
• Intérêts composés : uₙ = u₀ × (1 + t)ⁿ
• Capitalisation : Les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts
• Formule bancaire : Modèle standard des placements
Modèle de croissance : La taille de la plante est multipliée par 1.1 chaque mois.
u₀ = 10cm (taille initiale), q = 1.1 (multiplication par 1.1)
uₙ = 10 × (1.1)ⁿ où n est le nombre de mois
u₆ = 10 × (1.1)⁶ = 10 × 1.772 ≈ 17.72cm
u₁₂ = 10 × (1.1)¹² = 10 × 3.138 ≈ 31.38cm
La suite est croissante car q = 1.1 > 1, donc croissance exponentielle
Après 6 mois, la plante mesurera environ 17.72cm. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.1.
• Modèle biologique : q > 1 ⇒ croissance exponentielle
• Contraintes biologiques : Le modèle est valide dans certaines limites
• Facteurs de croissance : 1.1 correspond à une augmentation de 10%
Propagation : Le nombre de personnes infectées est multiplié par 1.5 chaque jour.
u₀ = 10 (personnes initialement infectées), q = 1.5
uₙ = 10 × (1.5)ⁿ où n est le nombre de jours
u₄ = 10 × (1.5)⁴ = 10 × 5.0625 ≈ 51 personnes
u₇ = 10 × (1.5)⁷ = 10 × 17.086 ≈ 171 personnes
q = 1.5 > 1, donc propagation exponentielle très rapide
Après 4 jours, environ 51 personnes seront infectées. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.5.
• Propagation virale : Modèle simplifié de diffusion
• Reproduction du virus : q > 1 ⇒ propagation exponentielle
• Facteur de reproduction : Nombre moyen de personnes contaminées
Refroidissement : La différence de température avec l'extérieur est multipliée par 0.8 chaque heure.
u₀ = 40°C (différence initiale), q = 0.8
uₙ = 40 × (0.8)ⁿ où n est le nombre d'heures
u₃ = 40 × (0.8)³ = 40 × 0.512 = 20.48°C
u₆ = 40 × (0.8)⁶ = 40 × 0.262 = 10.48°C
q = 0.8 < 1, donc décroissance exponentielle vers l'équilibre thermique
Après 3 heures, la différence de température sera de 20.48°C. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 0.8.
• Loi de refroidissement : Différence proportionnelle à l'écart thermique
• Décroissance exponentielle : 0 < q < 1 ⇒ convergence vers équilibre
• Constante de temps : Caractérise la rapidité du refroidissement
Croissance de la colonie : La population augmente de 25% par semaine.
u₀ = 500 (fourmis initiales), taux = 25% = 0.25
Augmentation de 25% ⇒ multiplication par 1 + 0.25 = 1.25
Donc q = 1.25
uₙ = 500 × (1.25)ⁿ où n est le nombre de semaines
u₄ = 500 × (1.25)⁴ = 500 × 2.441 ≈ 1221 fourmis
u₈ = 500 × (1.25)⁸ = 500 × 5.960 ≈ 2980 fourmis
Après 4 semaines, la colonie comptera environ 1221 fourmis. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.25.
• Taux de croissance : t% ⇒ q = 1 + t/100
• Modèle biologique : q > 1 ⇒ croissance exponentielle
• Limites du modèle : Ressources finies dans la réalité
Demi-vie : La quantité de substance est divisée par 2 tous les 10 jours.
u₀ = 200g (masse initiale), demi-vie = 10 jours, donc q = 1/2
uₙ = 200 × (1/2)ⁿ où n est le nombre de périodes de 10 jours
Après 30 jours, n = 30/10 = 3 périodes
u₃ = 200 × (1/2)³ = 200 × 1/8 = 25g
Après 50 jours, n = 50/10 = 5 périodes
u₅ = 200 × (1/2)⁵ = 200 × 1/32 = 6.25g
q = 1/2 < 1, donc décroissance exponentielle
Après 30 jours, il restera 25g de substance. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1/2.
• Demi-vie : q = 1/2 pour une division par 2
• Décroissance radioactive : Loi exponentielle universelle
• Constante radioactive : λ = ln(2)/demi-vie
Comparaison : Comparer deux suites géométriques avec q₁ = 1.1 et q₂ = 1.05.
uₙ = 100 × (1.1)ⁿ (croissance de 10%)
vₙ = 100 × (1.05)ⁿ (croissance de 5%)
u₅ = 100 × (1.1)⁵ = 100 × 1.611 ≈ 161
v₅ = 100 × (1.05)⁵ = 100 × 1.276 ≈ 128
u₁₀ = 100 × (1.1)¹⁰ = 100 × 2.594 ≈ 259
v₁₀ = 100 × (1.05)¹⁰ = 100 × 1.629 ≈ 163
À long terme, la suite avec q₁ = 1.1 croît beaucoup plus rapidement que celle avec q₂ = 1.05
Après 10 périodes : écart relatif = (259 - 163)/163 ≈ 59%
À long terme, la suite de raison q₁ = 1.1 domine largement celle de raison q₂ = 1.05.
• Comparaison de suites : La suite avec la plus grande raison domine à long terme
• Différence exponentielle : Même petite différence initiale devient importante
• Modélisation comparative : Utile pour choisir le meilleur modèle
