Croissance exponentielle : Chaque bactérie se divise en 2 toutes les 20 minutes.
u₀ = 100 (nombre initial de bactéries), la population double toutes les 20 minutes
q = 2 (doublage), donc uₙ = 100 × 2ⁿ où n est le nombre de périodes de 20 minutes
2 heures = 120 minutes = 6 périodes de 20 minutes
u₆ = 100 × 2⁶ = 100 × 64 = 6400 bactéries
4 heures = 240 minutes = 12 périodes de 20 minutes
u₁₂ = 100 × 2¹² = 100 × 4096 = 409600 bactéries
La suite est géométrique de raison q = 2, donc croissance exponentielle très rapide
Après 2 heures, il y aura 6400 bactéries. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 2.
• Suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ
• Doublage : q = 2
• Croissance exponentielle : q > 1 ⇒ suite croissante
Taux de croissance : La population augmente de 1.2% par an.
u₀ = 100000 (population initiale), taux = 1.2% = 0.012
Augmentation de 1.2% ⇒ multiplication par 1 + 0.012 = 1.012
Donc q = 1.012
uₙ = 100000 × (1.012)ⁿ où n est le nombre d'années
u₁₀ = 100000 × (1.012)¹⁰ = 100000 × 1.1267 ≈ 112670 habitants
u₂₀ = 100000 × (1.012)²⁰ = 100000 × 1.2694 ≈ 126940 habitants
Après 10 ans, la population sera d'environ 112670 habitants. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.012.
• Taux de croissance : t% ⇒ q = 1 + t/100
• Modèle exponentiel : Croissance proportionnelle à la population
• Application démographique : Modèle de Malthus
Intérêts composés : Placement avec intérêts de 2.5% par an capitalisés.
u₀ = 5000€ (capital initial), taux = 2.5% = 0.025
Intérêts de 2.5% ⇒ multiplication par 1 + 0.025 = 1.025
Donc q = 1.025
uₙ = 5000 × (1.025)ⁿ où n est le nombre d'années
u₈ = 5000 × (1.025)⁸ = 5000 × 1.2184 ≈ 6092.00€
u₁₅ = 5000 × (1.025)¹⁵ = 5000 × 1.4483 ≈ 7241.50€
Après 8 ans, le capital sera de 6092.00€. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.025.
• Intérêts composés : uₙ = u₀ × (1 + t)ⁿ
• Capitalisation : Les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts
• Formule bancaire : Modèle standard des placements
Propagation : Le nombre de personnes infectées est multiplié par 1.8 chaque jour.
u₀ = 5 (personnes initialement infectées), q = 1.8
uₙ = 5 × (1.8)ⁿ où n est le nombre de jours
u₃ = 5 × (1.8)³ = 5 × 5.832 ≈ 29 personnes
u₆ = 5 × (1.8)⁶ = 5 × 34.012 ≈ 170 personnes
q = 1.8 > 1, donc propagation exponentielle très rapide
Après 3 jours, environ 29 personnes seront infectées. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.8.
• Propagation virale : Modèle simplifié de diffusion
• Reproduction du virus : q > 1 ⇒ propagation exponentielle
• Facteur de reproduction : Nombre moyen de personnes contaminées
Modèle de croissance : La taille de la plante est multipliée par 1.15 chaque mois.
u₀ = 15cm (taille initiale), q = 1.15 (multiplication par 1.15)
uₙ = 15 × (1.15)ⁿ où n est le nombre de mois
u₄ = 15 × (1.15)⁴ = 15 × 1.749 ≈ 26.24cm
u₈ = 15 × (1.15)⁸ = 15 × 3.059 ≈ 45.89cm
La suite est croissante car q = 1.15 > 1, donc croissance exponentielle
Après 4 mois, la plante mesurera environ 26.24cm. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.15.
• Modèle biologique : q > 1 ⇒ croissance exponentielle
• Contraintes biologiques : Le modèle est valide dans certaines limites
• Facteurs de croissance : 1.15 correspond à une augmentation de 15%
Croissance de la colonie : La population augmente de 40% par semaine.
u₀ = 200 (individus initiaux), taux = 40% = 0.40
Augmentation de 40% ⇒ multiplication par 1 + 0.40 = 1.40
Donc q = 1.40
uₙ = 200 × (1.40)ⁿ où n est le nombre de semaines
u₃ = 200 × (1.40)³ = 200 × 2.744 ≈ 549 individus
u₆ = 200 × (1.40)⁶ = 200 × 7.529 ≈ 1506 individus
Après 3 semaines, la colonie comptera environ 549 individus. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 1.40.
• Taux de croissance : t% ⇒ q = 1 + t/100
• Modèle biologique : q > 1 ⇒ croissance exponentielle
• Limites du modèle : Ressources finies dans la réalité
Réaction nucléaire : Chaque neutron provoque 2.5 nouveaux neutrons en moyenne.
u₀ = 1 (neutron initial), q = 2.5 (multiplication par 2.5)
uₙ = 1 × (2.5)ⁿ = (2.5)ⁿ où n est le nombre d'étapes de réaction
u₅ = (2.5)⁵ = 97.66 ≈ 98 neutrons
u₁₀ = (2.5)¹⁰ = 9536.74 ≈ 9537 neutrons
q = 2.5 > 1, donc réaction en chaîne exponentielle très rapide
Après 5 étapes, il y aura environ 98 neutrons. La suite (uₙ) est géométrique de raison q = 2.5.
• Réaction en chaîne : q > 1 ⇒ multiplication exponentielle
• Facteur de multiplication : q = 2.5 ⇒ très rapide
• Contrôle : Nécessaire pour éviter l'explosion
Comparaison : Comparer deux suites géométriques avec q₁ = 1.1 et q₂ = 1.05.
uₙ = 100 × (1.1)ⁿ (croissance de 10%)
vₙ = 100 × (1.05)ⁿ (croissance de 5%)
u₅ = 100 × (1.1)⁵ = 100 × 1.611 ≈ 161
v₅ = 100 × (1.05)⁵ = 100 × 1.276 ≈ 128
u₁₀ = 100 × (1.1)¹⁰ = 100 × 2.594 ≈ 259
v₁₀ = 100 × (1.05)¹⁰ = 100 × 1.629 ≈ 163
À long terme, la suite avec q₁ = 1.1 croît beaucoup plus rapidement que celle avec q₂ = 1.05
Après 10 périodes : écart relatif = (259 - 163)/163 ≈ 59%
À long terme, la suite de raison q₁ = 1.1 domine largement celle de raison q₂ = 1.05.
• Comparaison de suites : La suite avec la plus grande raison domine à long terme
• Différence exponentielle : Même petite différence initiale devient importante
• Modélisation comparative : Utile pour choisir le meilleur modèle
Modèle logistique : Croissance exponentielle initiale avec saturation ultérieure.
Le modèle logistique combine croissance exponentielle initiale et saturation
La croissance exponentielle pure suppose des ressources infinies
P(t) = K / (1 + Ae^(-rt)) où K est la capacité maximale
Quand P est petit devant K, le modèle est approximativement exponentiel
Quand t → ∞, P(t) → K, la croissance s'arrête
La croissance exponentielle est un modèle simplifié. Le modèle logistique est plus réaliste pour des systèmes limités.
• Limites biologiques : Ressources finies
• Modèle logistique : Meilleure approximation de la réalité
• Capacité de charge : Valeur limite de la population
Loi de Newton : La différence de température suit une croissance exponentielle vers l'équilibre.
T(t) = T∞ + (T₀ - T∞)e^(-kt) où T∞ est la température ambiante
T₀ = 20°C (température initiale), T∞ = 100°C (température de l'eau bouillante), k = 0.1
T(t) = 100 + (20 - 100)e^(-0.1t) = 100 - 80e^(-0.1t)
T(10) = 100 - 80e^(-1) = 100 - 80×0.368 ≈ 100 - 29.44 ≈ 70.56°C
Quand t → ∞, T(t) → 100°C, la température tend vers l'équilibre
Après 10 minutes, l'objet atteindra environ 70.56°C. Le modèle montre une croissance exponentielle vers l'équilibre.
• Loi de Newton : T(t) = T∞ + (T₀ - T∞)e^(-kt)
• Approche de l'équilibre : Exponentielle vers la température ambiante
• Constante de temps : Caractérise la rapidité de l'approche
