Demi-vie : La quantité de substance est divisée par 2 tous les 5 ans.
u₀ = 1000g (masse initiale), demi-vie = 5 ans
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/5 ≈ 0.1386 an⁻¹
u(t) = 1000 × e^(-0.1386t) où t est en années
u(10) = 1000 × e^(-0.1386×10) = 1000 × e^(-1.386) = 1000 × 0.25 = 250g
u(15) = 1000 × e^(-0.1386×15) = 1000 × e^(-2.079) = 1000 × 0.125 = 125g
Après 10 ans, il restera 250g de substance. La demi-vie est de 5 ans.
• Demi-vie : t₁/₂ = ln(2)/k
• Décroissance radioactive : u(t) = u₀ × e^(-kt)
• Constante radioactive : λ = ln(2)/demi-vie
Refroidissement : La différence de température est divisée par 2 toutes les 30 minutes.
u₀ = 80°C (différence initiale), demi-vie = 30 min
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/30 ≈ 0.0231 min⁻¹
u(t) = 80 × e^(-0.0231t) où t est en minutes
u(60) = 80 × e^(-0.0231×60) = 80 × e^(-1.386) = 80 × 0.25 = 20°C
u(120) = 80 × e^(-0.0231×120) = 80 × e^(-2.772) = 80 × 0.0625 = 5°C
Après 1 heure, la différence de température sera de 20°C. La demi-vie est de 30 minutes.
• Loi de refroidissement : Différence proportionnelle à l'écart thermique
• Décroissance exponentielle : 0 < q < 1 ⇒ suite décroissante
• Constante de temps : Caractérise la rapidité du refroidissement
Élimination : La concentration du médicament est divisée par 2 toutes les 4 heures.
u₀ = 200mg (concentration initiale), demi-vie = 4h
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/4 ≈ 0.1733 h⁻¹
u(t) = 200 × e^(-0.1733t) où t est en heures
u(8) = 200 × e^(-0.1733×8) = 200 × e^(-1.386) = 200 × 0.25 = 50mg
u(12) = 200 × e^(-0.1733×12) = 200 × e^(-2.079) = 200 × 0.125 = 25mg
Après 8 heures, il restera 50mg de médicament. La demi-vie est de 4 heures.
• Pharmacocinétique : Élimination suivant un modèle exponentiel
• Demi-vie : Temps pour réduire la concentration de moitié
• Fréquence de prise : Dépend de la demi-vie du médicament
Demi-vie : La quantité de substance est divisée par 2 tous les 10 jours.
u₀ = 500g (masse initiale), demi-vie = 10 jours
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/10 ≈ 0.0693 j⁻¹
u(t) = 500 × e^(-0.0693t) où t est en jours
u(30) = 500 × e^(-0.0693×30) = 500 × e^(-2.079) = 500 × 0.125 = 62.5g
u(40) = 500 × e^(-0.0693×40) = 500 × e^(-2.772) = 500 × 0.0625 = 31.25g
Après 30 jours, il restera 62.5g de substance. La demi-vie est de 10 jours.
• Demi-vie : t₁/₂ = ln(2)/k
• Décroissance radioactive : u(t) = u₀ × e^(-kt)
• Constante radioactive : λ = ln(2)/demi-vie
Activité : L'activité radioactive est divisée par 2 tous les 2 ans.
u₀ = 1000 Bq (activité initiale), demi-vie = 2 ans
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/2 ≈ 0.3466 an⁻¹
u(t) = 1000 × e^(-0.3466t) où t est en années
u(6) = 1000 × e^(-0.3466×6) = 1000 × e^(-2.079) = 1000 × 0.125 = 125 Bq
u(8) = 1000 × e^(-0.3466×8) = 1000 × e^(-2.772) = 1000 × 0.0625 = 62.5 Bq
Après 6 ans, l'activité sera de 125 Bq. La demi-vie est de 2 ans.
• Activité radioactive : Proportionnelle au nombre de noyaux
• Loi de décroissance : A(t) = A₀ × e^(-λt)
• Unité : Becquerel (Bq) = 1 désintégration/seconde
Demi-vie : La concentration du polluant est divisée par 2 tous les 1 an.
u₀ = 100 ppm (concentration initiale), demi-vie = 1 an
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/1 ≈ 0.693 an⁻¹
u(t) = 100 × e^(-0.693t) où t est en années
u(3) = 100 × e^(-0.693×3) = 100 × e^(-2.079) = 100 × 0.125 = 12.5 ppm
u(5) = 100 × e^(-0.693×5) = 100 × e^(-3.465) = 100 × 0.03125 = 3.125 ppm
Après 3 ans, la concentration sera de 12.5 ppm. La demi-vie est de 1 an.
• Élimination environnementale : Suivant un modèle exponentiel
• Demi-vie : Indépendante de la concentration initiale
• Impact environnemental : Plus la demi-vie est longue, plus le polluant persiste
Demi-vie : La concentration de l'hormone est divisée par 2 toutes les 30 minutes.
u₀ = 50 ng/ml (concentration initiale), demi-vie = 30 min
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/30 ≈ 0.0231 min⁻¹
u(t) = 50 × e^(-0.0231t) où t est en minutes
u(120) = 50 × e^(-0.0231×120) = 50 × e^(-2.772) = 50 × 0.0625 = 3.125 ng/ml
u(180) = 50 × e^(-0.0231×180) = 50 × e^(-4.158) = 50 × 0.0156 = 0.78 ng/ml
Après 2 heures, la concentration sera de 3.125 ng/ml. La demi-vie est de 30 minutes.
• Élimination biologique : Suivant un modèle exponentiel
• Demi-vie biologique : Temps pour réduire la concentration de moitié
• Effet physiologique : Dépend de la concentration dans le sang
Demi-vie : La concentration du pesticide est divisée par 2 tous les 6 mois.
u₀ = 200 mg/kg (concentration initiale), demi-vie = 6 mois
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/6 ≈ 0.1155 mois⁻¹
u(t) = 200 × e^(-0.1155t) où t est en mois
u(12) = 200 × e^(-0.1155×12) = 200 × e^(-1.386) = 200 × 0.25 = 50 mg/kg
u(24) = 200 × e^(-0.1155×24) = 200 × e^(-2.772) = 200 × 0.0625 = 12.5 mg/kg
Après 1 an, la concentration sera de 50 mg/kg. La demi-vie est de 6 mois.
• Dégradation environnementale : Suivant un modèle exponentiel
• Persistence : Plus la demi-vie est courte, moins le pesticide persiste
• Évaluation environnementale : La demi-vie est un indicateur important
Comparaison : Comparer deux substances avec t₁/₂ = 1h et t₁/₂ = 3h.
Substance A : t₁/₂ = 1h ⇒ k = ln(2)/1 ≈ 0.693 h⁻¹
Substance B : t₁/₂ = 3h ⇒ k = ln(2)/3 ≈ 0.231 h⁻¹
A(t) = 100 × e^(-0.693t) pour la substance A
B(t) = 100 × e^(-0.231t) pour la substance B
A(3) = 100 × e^(-2.079) ≈ 12.5
B(3) = 100 × e^(-0.693) ≈ 50
A(6) = 100 × e^(-4.158) ≈ 1.56
B(6) = 100 × e^(-1.386) ≈ 25
La substance A disparaît beaucoup plus rapidement que la substance B
À long terme, la substance avec la demi-vie la plus courte disparaît plus rapidement.
• Comparaison de demi-vies : La substance avec la plus courte demi-vie disparaît plus vite
• Taux de décroissance : Plus la demi-vie est courte, plus le taux est élevé
• Modélisation comparative : Utile pour comparer la persistance
Traitement antibiotique : La population bactérienne est divisée par 2 toutes les 4 heures.
u₀ = 1000000 (population initiale), demi-vie = 4h
k = ln(2)/t₁/₂ = ln(2)/4 ≈ 0.1733 h⁻¹
u(t) = 1000000 × e^(-0.1733t) où t est en heures
u(12) = 1000000 × e^(-0.1733×12) = 1000000 × e^(-2.079) = 1000000 × 0.125 = 125000
u(24) = 1000000 × e^(-0.1733×24) = 1000000 × e^(-4.158) = 1000000 × 0.0156 = 15600
Après 12 heures, la population sera de 125000 bactéries. La demi-vie est de 4 heures.
• Élimination bactéricide : Suivant un modèle exponentiel
• Efficacité du traitement : Plus la demi-vie est courte, plus le traitement est efficace
• Éradication : Nécessite un temps suffisant pour éliminer complètement la population
