Décroissance exponentielle et demi-vie : Modèles exponentiels et suites géométriques
Introduction
Découvrez les fondements des phénomènes de décroissance exponentielle
Définition de la décroissance exponentielle
La décroissance exponentielle
Une quantité subit une décroissance exponentielle lorsqu'elle diminue à un taux proportionnel à sa valeur actuelle. La fonction mathématique qui modélise cette décroissance est de la forme :
Où :
- \(N_0\) est la quantité initiale
- \(k\) est la constante de décroissance positive
- \(t\) est le temps
Propriétés de la décroissance exponentielle
Propriétés importantes
Le taux de variation de la quantité est proportionnel à sa valeur actuelle :
2 La courbe est toujours décroissante
3 La décroissance est plus rapide au début
4 La demi-vie est constante pour une même substance
Définition de la demi-vie
La demi-vie
La demi-vie est le temps nécessaire pour qu'une quantité subissant une décroissance exponentielle diminue de moitié.
Où \(k\) est la constante de décroissance.
- Elle est indépendante de la quantité initiale
- Elle est constante pour une même substance radioactive
- Elle est utilisée pour caractériser la rapidité d'une décroissance
Applications de la décroissance exponentielle
Applications concrètes
Le nombre d'atomes radioactifs diminue selon une loi exponentielle. Par exemple, le carbone-14 a une demi-vie de 5730 ans, ce qui permet de dater les objets archéologiques.
- 1 Médecine (élimination des médicaments)
- 2 Biologie (démographie)
- 3 Chimie (réactions chimiques)
- 4 Finance (dépréciation des actifs)
Suites géométriques et décroissance
Lien avec les suites géométriques
Une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\) (où \(0 < q < 1\)) modélise une décroissance exponentielle discrète :
La suite géométrique est une version discrète de la fonction exponentielle continue. Si \(q = e^{-k}\), alors :
Ce qui correspond à la fonction exponentielle évaluée aux instants discrets \(t = n\).
Exemple de suite géométrique
Application pratique
Une population de bactéries diminue de 20% chaque heure. Initialement, il y a 1000 bactéries. Combien y aura-t-il de bactéries après 5 heures ?
2 C'est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1000\) et de raison \(q = 0.8\)
3 La population après n heures est : \(u_n = 1000 \times 0.8^n\)
4 Après 5 heures : \(u_5 = 1000 \times 0.8^5 = 1000 \times 0.32768 = 327.68\)
Il y aura environ 328 bactéries après 5 heures.
Calcul de la demi-vie
Méthode de calcul
Soit \(f(t) = N_0 \cdot e^{-kt}\) la fonction de décroissance exponentielle. Pour trouver la demi-vie, on cherche \(t_{1/2}\) tel que :
En simplifiant : \(\frac{1}{2} = e^{-k \cdot t_{1/2}}\)
En prenant le logarithme népérien : \(\ln(\frac{1}{2}) = -k \cdot t_{1/2}\)
Donc : \(\ln(2) = k \cdot t_{1/2}\)
Finalement : \(\boxed{t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}}\)
Si la constante de décroissance \(k = 0.05\) par heure, alors :
La demi-vie est donc de 13.86 heures.
Exercice d'application
Problème complet
Un médicament est éliminé du corps humain selon une loi exponentielle. Initialement, la concentration est de 200 mg/L. Après 4 heures, elle tombe à 120 mg/L.
1. Déterminer la constante de décroissance k.
2. Calculer la demi-vie du médicament.
3. Quelle sera la concentration après 8 heures ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
On a la fonction \(C(t) = C_0 \cdot e^{-kt}\) avec \(C_0 = 200\) mg/L.
Au bout de 4 heures : \(C(4) = 120\) mg/L
Donc : \(120 = 200 \cdot e^{-4k}\)
\(\frac{120}{200} = e^{-4k}\)
\(0.6 = e^{-4k}\)
\(\ln(0.6) = -4k\)
\(k = -\frac{\ln(0.6)}{4} = \frac{-(-0.511)}{4} = 0.128\) h⁻¹
Utilisons la formule : \(t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}\)
La demi-vie du médicament est de 5.41 heures.
Utilisons la fonction : \(C(t) = 200 \cdot e^{-0.128t}\)
La concentration après 8 heures sera de 71.8 mg/L.
Résumé
Points clés
- \( f(t) = N_0 \cdot e^{-kt} \) pour une décroissance continue
- \( u_n = u_0 \cdot q^n \) pour une décroissance discrète (suite géométrique)
- Le taux de variation est proportionnel à la valeur actuelle
- Temps nécessaire pour que la quantité diminue de moitié
- Formule : \( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \)
- Constante pour une même substance
- Radioactivité
- Médecine
- Biologie
- Finance
Exercices supplémentaires
Approfondissement
Une population de bactéries suit la loi \(P(t) = 500 \cdot e^{-0.2t}\) où t est en heures.
a) Quelle est la population initiale ?
b) Quelle est la demi-vie ?
c) Quelle est la population après 5 heures ?
Le radium-226 a une demi-vie de 1600 ans. Si on part de 10g, combien restera-t-il après 5000 ans ?
Exercice 1 :
a) \(P(0) = 500 \cdot e^{0} = 500\) bactéries
b) \(t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0.2} = 3.47\) heures
c) \(P(5) = 500 \cdot e^{-0.2 \times 5} = 500 \cdot e^{-1} = 184\) bactéries
Exercice 2 :
On a \(k = \frac{\ln(2)}{1600} = 0.000433\) ans⁻¹
\(m(5000) = 10 \cdot e^{-0.000433 \times 5000} = 10 \cdot e^{-2.165} = 1.15\) g
Graphiques interactifs
Visualisation des décroissances
Sur le graphique ci-dessus, vous pouvez observer différentes courbes de décroissance exponentielle :
- Une décroissance rapide (constante k élevée)
- Une décroissance modérée
- Une décroissance lente (constante k faible)
Plus la constante k est grande, plus la décroissance est rapide.
Applications réelles
Domaines d'application
La concentration d'un médicament dans le sang diminue selon une loi exponentielle. La demi-vie permet de déterminer la fréquence d'administration pour maintenir une concentration efficace.
Exemple : Le paracétamol a une demi-vie d'environ 2-3 heures chez l'adulte.
Le carbone-14 (14C) a une demi-vie de 5730 ans. Cette propriété est utilisée pour dater des objets organiques vieux de plusieurs milliers d'années.
La datation archéologique repose sur la comparaison de la quantité de 14C résiduelle avec la quantité initiale.
La valeur d'un véhicule, d'un équipement ou d'autres biens diminue souvent selon une loi exponentielle. Cela permet de calculer la valeur résiduelle après un certain temps.
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences