Croissance exponentielle | Mathématiques 1ère - Enseignement scientifique

Une suite (uₙ) est géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante q (raison) :

Et le terme général est :

Une suite géométrique de raison q > 1 modélise une croissance exponentielle discrète.

Le modèle continu correspondant est :

Où t est un temps continu.

Les bactéries se reproduisent par division cellulaire. Chaque bactérie se divise en deux bactéries identiques.

Si une bactérie se divise toutes les 20 minutes :

• Initialement : 1 bactérie
• Après 20 min : 2 bactéries
• Après 40 min : 4 bactéries
• Après 60 min : 8 bactéries

Soit uₙ le nombre de bactéries après n périodes de 20 minutes :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison q = 2.

Un capital placé à intérêts composés génère des intérêts sur le capital initial mais aussi sur les intérêts déjà acquis.

Si on place 1000€ à 5% par an :

• Année 0 : 1000€
• Année 1 : 1000 × 1.05 = 1050€
• Année 2 : 1050 × 1.05 = 1102.50€
• Année 3 : 1102.50 × 1.05 = 1157.63€

Soit C₀ le capital initial, t le taux annuel et Cₙ le capital après n années :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme C₀ et de raison q = 1 + t.

Thomas Malthus a proposé un modèle où la population double à intervalles réguliers, en absence de contraintes environnementales.

Si une population double tous les 5 ans :

• Année 0 : 100 individus
• Année 5 : 200 individus
• Année 10 : 400 individus
• Année 15 : 800 individus

Soit P₀ la population initiale et Pₙ la population après n périodes de 5 ans :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme P₀ et de raison q = 2.

Supposons qu'une personne informée transmette l'information à 3 autres personnes à chaque heure.

Si 1 personne connaît l'information initialement :

• Heure 0 : 1 personne informée
• Heure 1 : 3 personnes informées
• Heure 2 : 9 personnes informées
• Heure 3 : 27 personnes informées

Soit Iₙ le nombre de personnes informées après n heures :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme I₀ = 1 et de raison q = 3.

1 Modèle : uₙ = 50 × 2ⁿ, où n est le nombre de périodes de 30 minutes
2 3 heures = 6 périodes de 30 minutes, donc u₆ = 50 × 2⁶ = 50 × 64 = 3200 bactéries
3 On cherche n tel que uₙ = 3200 :
50 × 2ⁿ = 3200
2ⁿ = 64
2ⁿ = 2⁶
n = 6 périodes = 3 heures

1 Modèle : Cₙ = 2000 × (1.03)ⁿ, où n est le nombre d'années
2 C₁₀ = 2000 × (1.03)¹⁰ ≈ 2000 × 1.344 = 2688€
3 On cherche n tel que Cₙ = 4000 (double du capital initial) :
2000 × (1.03)ⁿ = 4000
(1.03)ⁿ = 2
n × ln(1.03) = ln(2)
n = ln(2)/ln(1.03) ≈ 23.45 ans

1 Modèle : Pₙ = 100 × 3ⁿ, où n est le nombre de périodes de 2 ans
2 8 ans = 4 périodes de 2 ans, donc P₄ = 100 × 3⁴ = 100 × 81 = 8100 animaux
3 On cherche n tel que Pₙ > 10000 :
100 × 3ⁿ > 10000
3ⁿ > 100
n × ln(3) > ln(100)
n > ln(100)/ln(3) ≈ 4.19
Donc après 5 périodes = 10 ans

Le taux de croissance est constant :

Cela signifie que la croissance relative est constante.

Le temps de doublement est constant :

Où t_d est le temps nécessaire pour doubler la valeur.

Une fonction exponentielle f(x) = a·bˣ avec b > 1 tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

Elle croît plus rapidement que toute fonction polynomiale.

La croissance exponentielle n'est jamais observée indéfiniment dans la nature car :

• Les ressources sont limitées
• Les espaces sont finis
• Les interactions entre espèces limitent la croissance

En réalité, la croissance suit souvent un modèle logistique :

Où K est la capacité maximale (plafond) de l'environnement.

• Caractérisée par un taux de croissance constant
• Modèle : f(x) = a·bˣ avec b > 1
• Se manifeste dans de nombreux phénomènes naturels

• Une suite géométrique de raison q > 1 modélise une croissance exponentielle discrète
• Le terme général est uₙ = u₀·qⁿ

• Reproduction bactérienne
• Intérêts composés
• Croissance de populations
• Propagation d'informations