Suites géométriques dans des phénomènes naturels | Mathématiques 1ère - Enseignement scientifique

Les bactéries se reproduisent par division cellulaire. Chaque bactérie se divise en deux bactéries identiques.

Si une bactérie se divise toutes les 20 minutes :

• Initialement : 1 bactérie
• Après 20 min : 2 bactéries
• Après 40 min : 4 bactéries
• Après 60 min : 8 bactéries

Soit uₙ le nombre de bactéries après n périodes de 20 minutes :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison q = 2.

Un capital placé à intérêts composés génère des intérêts sur le capital initial mais aussi sur les intérêts déjà acquis.

Si on place 1000€ à 5% par an :

• Année 0 : 1000€
• Année 1 : 1000 × 1.05 = 1050€
• Année 2 : 1050 × 1.05 = 1102.50€
• Année 3 : 1102.50 × 1.05 = 1157.63€

Soit C₀ le capital initial, t le taux annuel et Cₙ le capital après n années :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme C₀ et de raison q = 1 + t.

Les noyaux radioactifs se désintègrent spontanément. À chaque période, une fraction constante des noyaux se désintègre.

Si 50% des noyaux se désintègrent toutes les 30 ans (période de demi-vie) :

• Initialement : 100% de noyaux
• Après 30 ans : 50% de noyaux
• Après 60 ans : 25% de noyaux
• Après 90 ans : 12.5% de noyaux

Soit N₀ le nombre initial de noyaux et Nₙ le nombre après n périodes de demi-vie :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme N₀ et de raison q = 1/2.

Thomas Malthus a proposé un modèle où la population double à intervalles réguliers, en absence de contraintes environnementales.

Si une population double tous les 5 ans :

• Année 0 : 100 individus
• Année 5 : 200 individus
• Année 10 : 400 individus
• Année 15 : 800 individus

Soit P₀ la population initiale et Pₙ la population après n périodes de 5 ans :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme P₀ et de raison q = 2.

Supposons qu'une personne informée transmette l'information à 3 autres personnes à chaque heure.

Si 1 personne connaît l'information initialement :

• Heure 0 : 1 personne informée
• Heure 1 : 3 personnes informées
• Heure 2 : 9 personnes informées
• Heure 3 : 27 personnes informées

Soit Iₙ le nombre de personnes informées après n heures :

Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme I₀ = 1 et de raison q = 3.

1 Modèle : uₙ = 50 × 2ⁿ, où n est le nombre de périodes de 30 minutes
2 3 heures = 6 périodes de 30 minutes, donc u₆ = 50 × 2⁶ = 50 × 64 = 3200 bactéries
3 On cherche n tel que uₙ = 3200 :
50 × 2ⁿ = 3200
2ⁿ = 64
2ⁿ = 2⁶
n = 6 périodes = 3 heures

1 Modèle : Cₙ = 2000 × (1.03)ⁿ, où n est le nombre d'années
2 C₁₀ = 2000 × (1.03)¹⁰ ≈ 2000 × 1.344 = 2688€
3 On cherche n tel que Cₙ = 4000 (double du capital initial) :
2000 × (1.03)ⁿ = 4000
(1.03)ⁿ = 2
n × ln(1.03) = ln(2)
n = ln(2)/ln(1.03) ≈ 23.45 ans

1 Modèle : Nₙ = 1000 × (1/2)ⁿ, où n est le nombre de périodes de 10 jours
2 30 jours = 3 périodes, donc N₃ = 1000 × (1/2)³ = 1000 × 1/8 = 125 atomes
3 On cherche n tel que Nₙ < 100 :
1000 × (1/2)ⁿ < 100
(1/2)ⁿ < 0.1
2⁻ⁿ < 0.1
-n × ln(2) < ln(0.1)
n > ln(0.1)/(-ln(2)) ≈ 3.32
Donc après 4 périodes = 40 jours

Pour une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q :

Pour la somme des n+1 premiers termes :

Si q = 1, alors Sₙ = (n+1) × u₀

• Si q > 1 : la suite diverge vers +∞ (croissance exponentielle)
• Si 0 < q < 1 : la suite converge vers 0 (décroissance exponentielle)
• Si q = 1 : la suite est constante
• Si q ≤ 0 : la suite change de signe alternativement

• q > 1 : croissance bactérienne, intérêts composés
• 0 < q < 1 : désintégration radioactive, amortissement
• q = 1 : population stable, capital inchangé

• Chaque terme est le produit du précédent par une constante q (raison)
• Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ
• Relation de récurrence : uₙ₊₁ = q × uₙ

• Croissance exponentielle : reproduction, intérêts composés
• Décroissance exponentielle : désintégration radioactive
• Propagation : diffusion d'informations

• Si q > 1 : croissance illimitée
• Si 0 < q < 1 : convergence vers 0
• La raison détermine le comportement global