Exemples modélisés | Mathématiques 1ère - Enseignement scientifique

Supposons qu'une population évolue selon le modèle suivant :

• Chaque individu se reproduit à un taux constant
• La population n'est limitée par aucune ressource
• Aucun facteur externe n'influence l'évolution

Soit P(t) la population à l'instant t. Le modèle s'écrit :

Où :

• P₀ est la population initiale
• r est le taux de croissance
• t est le temps

Un objet chaud placé dans un environnement plus froid va se refroidir progressivement.

La vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence de température entre l'objet et son environnement.

Soit T(t) la température de l'objet à l'instant t. Le modèle s'écrit :

Où :

• Tₑ est la température ambiante
• T₀ est la température initiale
• k est une constante positive

Soit s(t) la position d'un mobile à l'instant t. Pour un mouvement uniformément varié :

Où :

• s₀ est la position initiale
• v₀ est la vitesse initiale
• a est l'accélération constante

Par dérivation :

• Vitesse : v(t) = s'(t) = v₀ + at
• Accélération : a(t) = s''(t) = a

Soit p le prix d'un produit et q la quantité :

• Fonction de demande : D(p) = a - bp (où a, b > 0)
• Fonction d'offre : O(p) = c + dp (où c ≥ 0, d > 0)

L'équilibre du marché correspond à D(p) = O(p).

À l'équilibre : a - bp = c + dp

Quantité à l'équilibre : q* = a - bp*

• S(t) : Nombre de personnes susceptibles d'être infectées
• I(t) : Nombre de personnes infectées
• R(t) : Nombre de personnes retirées (guéries ou décédées)

Où β est le taux de transmission et γ le taux de guérison.

1 Modèle : N(t) = 500 × 2^(t/3)
2 Pour t = 12 : N(12) = 500 × 2^(12/3) = 500 × 2^4 = 500 × 16 = 8000 bactéries
3 On cherche t tel que N(t) = 8000 :
8000 = 500 × 2^(t/3)
16 = 2^(t/3)
2^4 = 2^(t/3)
4 = t/3
t = 12 heures

1 T(10) = 20 + 60e^(-0.1×10) = 20 + 60e^(-1) ≈ 20 + 60×0.368 ≈ 42.1°C
2 On cherche t tel que T(t) = 40 :
40 = 20 + 60e^(-0.1t)
20 = 60e^(-0.1t)
1/3 = e^(-0.1t)
ln(1/3) = -0.1t
t = -ln(1/3)/0.1 ≈ 10.99 minutes
3 lim[t→∞] T(t) = 20°C (température ambiante)

1 v(t) = s'(t) = 2t, donc v(5) = 2×5 = 10 m/s
2 s(5) = 5² = 25 mètres
3 On cherche t tel que v(t) = 20 :
2t = 20
t = 10 secondes

• La dérivée première f'(x) représente le taux de variation instantané
• Elle indique la vitesse de changement d'une grandeur
• Elle permet de trouver les extrema d'une fonction
• Elle aide à comprendre la croissance ou décroissance d'une fonction

• Étude de l'évolution d'une population
• Analyse de la vitesse d'un objet en mouvement
• Optimisation d'un profit économique
• Prévision de l'évolution d'une température

• Le modèle prédit-il correctement les observations passées ?
• Est-il cohérent avec les lois physiques ou économiques connues ?
• Peut-il être utilisé pour faire des prévisions fiables ?

• Quelles sont les hypothèses faites ?
• Sur quelle plage de valeurs est-il valable ?
• Que se passe-t-il en dehors de cette plage ?

• Processus de traduction d'une situation réelle en langage mathématique
• Permet de comprendre, prédire et optimiser
• Suit un cycle : observation → modélisation → validation → utilisation

• Exponentiel : croissance/décroissance rapide
• Linéaire : évolution constante
• Quadratique : mouvement avec accélération constante

• Calcul du taux de variation instantané
• Étude des variations d'une fonction
• Optimisation de grandeurs