Applications épidémiologiques : Modèles exponentiels et suites géométriques

Le modèle exponentiel suppose que chaque personne contaminée transmet la maladie à un nombre constant de personnes à chaque période. La fonction mathématique qui modélise cette propagation est de la forme :

Où :

• \(N_0\) est le nombre initial de personnes infectées
• \(r\) est le taux de croissance (positif)
• \(t\) est le temps

Le modèle discret de propagation épidémique peut être représenté par une suite géométrique. Si chaque personne contaminée transmet la maladie à \(q\) personnes à chaque période, alors :

Où :

• \(u_0\) est le nombre initial de personnes infectées
• \(q\) est le facteur de multiplication (nombre de personnes contaminées par personne)
• \(n\) est le numéro de la période

Si \(q = e^r\), alors le modèle discret devient une version discrétisée du modèle continu :

Ce qui correspond au modèle exponentiel évalué aux instants discrets \(t = n\).

Le nombre de reproduction de base, noté R₀ (R-zéro), est le nombre moyen de personnes qu'une personne infectée va contaminer dans une population entièrement susceptible.

Où :

• \(\beta\) est le taux de transmission
• \(\tau\) est la durée moyenne d'infection

• Si \(R_0 > 1\) : l'épidémie se propage
• Si \(R_0 = 1\) : l'épidémie stagne
• Si \(R_0 < 1\) : l'épidémie disparaît

• Semaine 0 : \(u_0 = 10 \times 2^0 = 10\)
• Semaine 1 : \(u_1 = 10 \times 2^1 = 20\)
• Semaine 2 : \(u_2 = 10 \times 2^2 = 40\)
• Semaine 3 : \(u_3 = 10 \times 2^3 = 80\)
• Semaine 4 : \(u_4 = 10 \times 2^4 = 160\)

Après 4 semaines, il y aura 160 personnes infectées.

Le modèle SIR divise la population en trois catégories :

• S : Susceptibles (personnes non encore infectées)
• I : Infectés (personnes actuellement infectées)
• R : Retirés (personnes guéries ou décédées)

Les équations différentielles décrivant le modèle sont :

• \(\beta\) : taux de transmission
• \(\gamma\) : taux de guérison
• \(N\) : population totale

Le nombre de reproduction de base est \(R_0 = \frac{\beta}{\gamma}\)

On a une suite géométrique avec :

• Premier terme : \(u_0 = 5\) (personnes infectées initialement)
• Raison : \(q = 1.5\) (chacune contamine 1.5 personne par jour)

Donc : \(u_n = 5 \times 1.5^n\)

Cette suite modélise le nombre de nouvelles infections chaque jour.

Utilisons la formule : \(u_7 = 5 \times 1.5^7\)

\(1.5^7 = 17.086\)

Il y aura environ 85 personnes infectées après 7 jours (nouvelles infections).

Pour le total cumulé, il faut additionner tous les termes de la suite jusqu'à n=7.

Le nombre de reproduction de base est le nombre moyen de personnes qu'une personne infectée va contaminer.

Dans cet exemple, chaque personne contamine 1.5 personne par jour.

Puisque \(R_0 > 1\), l'épidémie se propage.

• Modèle exponentiel continu : \(N(t) = N_0 \cdot e^{rt}\)
• Modèle discret (suite géométrique) : \(u_n = u_0 \cdot q^n\)
• Nombre de reproduction de base : \(R_0 = \frac{\beta}{\gamma}\)

• Si \(R_0 > 1\) : l'épidémie se propage
• Si \(R_0 = 1\) : l'épidémie stagne
• Si \(R_0 < 1\) : l'épidémie disparaît

• S : Susceptibles
• I : Infectés
• R : Retirés

Exercice 1 :

a) Suite géométrique : \(u_n = 3 \cdot 2^n\)

b) Après 5 périodes : \(u_5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96\) personnes

c) \(R_0 = 2\) (chaque personne contamine 2 autres)

Exercice 2 :

\(R_0 = \frac{\beta}{\gamma} = \frac{0.4}{0.2} = 2\)

Comme \(R_0 > 1\), l'épidémie se propage.

Sur le graphique ci-dessus, vous pouvez observer différentes courbes de propagation épidémique :

• Propagation rapide (R₀ élevé)
• Propagation modérée
• Propagation lente (R₀ proche de 1)

Plus R₀ est grand, plus la propagation est rapide.

La pandémie de COVID-19 a été modélisée à l'aide de modèles épidémiologiques. Initialement, R₀ était estimé entre 2 et 3, ce qui explique la propagation rapide du virus.

Les mesures de distanciation sociale ont permis de réduire R₀, ralentissant la propagation.

La grippe espagnole de 1918 a tué environ 50 millions de personnes. R₀ était estimé entre 1.4 et 2.8.

Les modèles mathématiques ont aidé à comprendre la propagation de cette épidémie historique.

Le choléra se propage principalement par voie hydrique. Son R₀ varie selon les conditions sanitaires. Les modèles aident à planifier les interventions sanitaires.