Suite géométrique : Suite définie par \(u_n = u_0 \times q^n\) où \(q\) est la raison.
Identifier les paramètres : \(u_0\) (valeur initiale), \(q\) (raison), \(n\) (rang).
\(u_0 = 1\) (personne initiale), \(q = 2\) (chaque personne infecte 2 autres), \(n = 10\) jours
\(u_n = u_0 \times q^n = 1 \times 2^{10}\)
\(u_{10} = 2^{10} = 1024\)
Il y aura 1024 personnes contaminées au bout de 10 jours.
• Formule : \(u_n = u_0 \times q^n\) pour une suite géométrique
• Propriété : \(2^{10} = 1024\)
• Interprétation : La propagation est exponentielle, ce qui explique la croissance rapide
Fonction exponentielle : \(N(t) = N_0 \times e^{rt}\) où \(r\) est le taux de croissance.
\(N(t) = 50e^{0.3t}\), \(t = 7\) jours, \(N_0 = 50\), \(r = 0.3\)
\(N(7) = 50e^{0.3 \times 7} = 50e^{2.1}\)
\(N(7) = 50 \times e^{2.1} \approx 50 \times 8.166 = 408.3\)
Le taux de croissance est \(r = 0.3\) soit 30% par jour.
Il y aura environ 408 cas après 7 jours. Le taux de croissance est de 30% par jour.
• Formule : \(N(t) = N_0 \times e^{rt}\) pour la croissance exponentielle
• Taux : \(r\) représente le taux de croissance instantané
• Approximation : \(e^{2.1} \approx 8.166\)
Taux de reproduction \(R_0\) : Nombre moyen de personnes contaminées par un individu infecté.
\(R_0 = 1.5\), \(u_0 = 2\) (personnes initiales), \(n = 4\) générations
Chaque génération multiplie par \(R_0\), donc : \(u_n = u_0 \times (R_0)^n\)
\(u_4 = 2 \times (1.5)^4 = 2 \times 5.0625 = 10.125\)
Comme on ne peut avoir qu'un nombre entier de personnes, on arrondit à 10 personnes.
Il y aura environ 10 personnes contaminées après 4 générations.
• \(R_0\) : Représente le nombre moyen de personnes contaminées par un individu
• Suite géométrique : \(u_n = u_0 \times (R_0)^n\)
• Interprétation : \(R_0 > 1\) implique une épidémie croissante
Doublement : Lorsqu'une quantité double à intervalle régulier, on utilise une suite géométrique de raison 2.
Population initiale : 100 bactéries, doublement toutes les 3h, durée : 24h
Nb de périodes = 24h ÷ 3h = 8 périodes
\(N = N_0 \times 2^n = 100 \times 2^8\)
\(N = 100 \times 256 = 25600\)
Il y aura 25600 bactéries après 24 heures.
• Doublement : Suite géométrique de raison 2
• Nombre de périodes : Durée totale ÷ période de doublement
• Croissance : \(2^8 = 256\)
Inéquation exponentielle : Résolution d'inégalités impliquant des fonctions exponentielles.
\(u_n = 3 \times 1.8^n > 1000\)
\(1.8^n > \frac{1000}{3}\)
\(1.8^n > 333.33\)
\(n \times \ln(1.8) > \ln(333.33)\)
\(n > \frac{\ln(333.33)}{\ln(1.8)}\)
\(\ln(333.33) \approx 5.81\)
\(\ln(1.8) \approx 0.588\)
\(n > \frac{5.81}{0.588} \approx 9.88\)
Comme \(n\) doit être un entier, il faut attendre \(n = 10\) jours.
Le seuil de 1000 cas sera dépassé au bout de 10 jours.
• Logarithme : Pour résoudre \(a^n > b\), on utilise \(\ln(a^n) > \ln(b)\)
• Propriété : \(\ln(a^n) = n \times \ln(a)\)
• Arrondi : On prend le plus petit entier supérieur
Suite géométrique : Suite définie par \(u_{n+1} = q \times u_n\) ou \(u_n = u_0 \times q^n\).
Initialement : 10 cas, chaque jour le nombre triple, donc \(q = 3\)
\(u_n = u_0 \times q^n\)
\(u_n = 10 \times 3^n\)
\(u_0 = 10 \times 3^0 = 10 \times 1 = 10\) ✓
\(u_1 = 10 \times 3^1 = 10 \times 3 = 30\) ✓
Le nombre de cas au jour n est : \(u_n = 10 \times 3^n\)
• Formule : \(u_n = u_0 \times q^n\) pour une suite géométrique
• Raison : \(q = 3\) car le nombre triple chaque jour
• Vérification : Toujours tester les premiers termes
Temps de doublement : Temps nécessaire pour que la quantité double.
\(N(t) = 200e^{0.4t}\), \(t = 5\)
\(N(5) = 200e^{0.4 \times 5} = 200e^{2} \approx 200 \times 7.389 = 1477.8\)
Formule : \(T_d = \frac{\ln(2)}{r}\)
\(T_d = \frac{\ln(2)}{0.4} = \frac{0.693}{0.4} \approx 1.73\) heures
La population double environ toutes les 1h44 minutes.
Il y aura environ 1478 bactéries après 5h. Le temps de doublement est de 1h44 minutes.
• Formule : \(N(t) = N_0 \times e^{rt}\) pour la croissance exponentielle
• Temps de doublement : \(T_d = \frac{\ln(2)}{r}\)
• Constante : \(\ln(2) \approx 0.693\)
Propagation dans une population : Chaque individu infecté transmet à \(R_0\) autres individus.
Population : 1000 habitants, \(R_0 = 2\), générations : 5, début : 1 personne infectée
\(u_n = u_0 \times (R_0)^n = 1 \times 2^5 = 32\)
32 < 1000, donc la population est suffisante
Total = \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63\) personnes infectées au total
Après 5 générations, 63 personnes seront infectées au total dans la ville.
• \(R_0\) : Taux de reproduction de base
• Suite géométrique : \(u_n = u_0 \times (R_0)^n\)
• Cumul : Somme des termes de la suite géométrique
Temps de doublement : Intervalle de temps pour que la quantité double.
Actuellement : 50 cas, doublement tous les 4 jours, durée : 12 jours
Nb de périodes = 12 ÷ 4 = 3 périodes
Facteur = \(2^3 = 8\)
Nb final = 50 × 8 = 400 cas
Il y aura 400 cas dans 12 jours.
• Doublement : Chaque période multiplie par 2
• Nombre de périodes : Durée ÷ période de doublement
• Facteur : \(2^n\) où n est le nombre de périodes
Taux de croissance : Mesure de l'accroissement relatif d'une quantité.
\(u_n = 5 \times 1.6^n\), \(u_0 = 5\), \(q = 1.6\)
Le facteur de multiplication est 1.6, donc le taux est : \((1.6 - 1) \times 100 = 60\%\)
\(u_8 = 5 \times 1.6^8\)
\(1.6^8 = (1.6^4)^2 = (6.5536)^2 \approx 42.95\)
\(u_8 = 5 \times 42.95 \approx 215\)
Le taux de croissance quotidien est de 60%. Il y aura environ 215 cas au bout de 8 jours.
• Taux de croissance : \((q - 1) \times 100\%\) pour une suite géométrique
• Calcul : \(1.6^8\) se calcule par puissances successives
• Interprétation : Le nombre augmente de 60% chaque jour
