Modèle linéaire : \(f(x) = ax + b\), variation constante
Modèle exponentiel : \(g(x) = a \times q^x\), variation proportionnelle
Calculer les valeurs pour différentes valeurs de x et comparer les taux de croissance.
f(0) = 2×0+1 = 1
f(1) = 2×1+1 = 3
f(2) = 2×2+1 = 5
f(3) = 2×3+1 = 7
f(4) = 2×4+1 = 9
g(0) = 2⁰ = 1
g(1) = 2¹ = 2
g(2) = 2² = 4
g(3) = 2³ = 8
g(4) = 2⁴ = 16
Pour x=4 : f(4)=9 et g(4)=16
Le modèle exponentiel dépasse le modèle linéaire
Linéaire : augmentation constante de 2
Exponentiel : multiplication par 2 à chaque étape
Le modèle exponentiel g(x)=2^x croît plus rapidement que le modèle linéaire f(x)=2x+1. Pour x=4, g(4)=16 > f(4)=9.
• Croissance linéaire : Augmentation constante (différence constante)
• Croissance exponentielle : Multiplication constante (rapport constant)
• Comparaison : Pour x grand, l'exponentielle dépasse les autres modèles
Modèle quadratique : \(f(x) = ax^2 + bx + c\), croissance accélérée
Modèle exponentiel : \(g(x) = a \times q^x\), croissance de plus en plus rapide
f(x) = x² (modèle quadratique)
g(x) = 1.5^x (modèle exponentiel)
Pour x=1 : f(1)=1, g(1)=1.5
Pour x=2 : f(2)=4, g(2)=2.25
Pour x=3 : f(3)=9, g(3)=3.375
Pour x=4 : f(4)=16, g(4)=5.0625
Pour x=5 : f(5)=25, g(5)=7.594
Pour x=6 : f(6)=36, g(6)=11.391
Pour x=7 : f(7)=49, g(7)=17.086
Pour x=8 : f(8)=64, g(8)=25.63
Pour x=9 : f(9)=81, g(9)=38.44
Pour x=10 : f(10)=100, g(10)=57.67
Jusqu'à x=10, le modèle quadratique est supérieur
Calculons pour x=15 : f(15)=225, g(15)≈437.9
Par essais successifs : g(x) dépasse f(x) entre x=14 et x=15
Le modèle exponentiel g(x)=1.5^x dépasse le modèle quadratique f(x)=x² à partir de x≈14-15.
• Ordre de grandeur : Pour x très grand, l'exponentielle dépasse tous les polynômes
• Comparaison : x² croît plus vite que x mais moins vite que a^x (a>1)
• Point de bascule : Dépend de la base de l'exponentielle
Modèle exponentiel : f(n)=100×1.2^n, croissance proportionnelle
Modèle linéaire : g(n)=100+20n, croissance constante
f(n) = 100×1.2^n (modèle exponentiel)
g(n) = 100+20n (modèle linéaire)
Pour n=0 : f(0)=100, g(0)=100
Pour n=1 : f(1)=100×1.2=120, g(1)=120
Pour n=2 : f(2)=100×1.44=144, g(2)=140
Pour n=3 : f(3)=100×1.728=172.8, g(3)=160
Pour n=4 : f(4)=100×2.074=207.4, g(4)=180
À n=2, f(2)=144 > g(2)=140
Le modèle exponentiel dépasse le modèle linéaire dès n=2
La différence augmente rapidement : f(4)-g(4) = 27.4
Le modèle exponentiel f(n)=100×1.2^n dépasse le modèle linéaire g(n)=100+20n dès n=2. À n=4, la différence est de 27.4 cas.
• Modèle exponentiel : Croissance proportionnelle, accélérée
• Modèle linéaire : Croissance constante
• Comparaison : L'exponentiel dépasse rapidement le linéaire
Modèle exponentiel : f(t)=50×e^(0.3t), croissance continue
Modèle linéaire : g(t)=50+15t, croissance constante
f(t) = 50×e^(0.3t) (modèle exponentiel)
g(t) = 50+15t (modèle linéaire)
f(10) = 50×e^(0.3×10) = 50×e^3
e^3 ≈ 20.086
f(10) = 50×20.086 ≈ 1004.3 bactéries
g(10) = 50+15×10 = 50+150 = 200 bactéries
f(10) ≈ 1004.3 vs g(10) = 200
Différence : 1004.3 - 200 = 804.3 bactéries
Au bout de 10 jours, la culture bactérienne suit f(10)≈1004 bactéries (exponentiel) contre g(10)=200 bactéries (linéaire). Le modèle exponentiel prédit 804 bactéries de plus.
• Exponentielle naturelle : e^(0.3t) avec taux de croissance r=0.3
• Calcul : e^3 ≈ 20.086
• Écart : L'exponentiel crée un écart de plus en plus important
Modèle exponentiel : f(x)=10000×1.03^x, croissance de 3% par an
Modèle linéaire : g(x)=10000+300x, augmentation de 300 par an
f(x) = 10000×1.03^x (modèle exponentiel, 3% par an)
g(x) = 10000+300x (modèle linéaire, +300 par an)
f(20) = 10000×1.03^20
1.03^20 = (1.03^10)^2 ≈ (1.344)^2 ≈ 1.806
f(20) = 10000×1.806 ≈ 18060 habitants
g(20) = 10000+300×20 = 10000+6000 = 16000 habitants
Différence = f(20) - g(20) = 18060 - 16000 = 2060 habitants
Modèle exponentiel : croissance de 80.6%
Modèle linéaire : croissance de 60%
Après 20 ans, le modèle exponentiel prévoit 18060 habitants contre 16000 pour le modèle linéaire. La différence est de 2060 habitants.
• Exponentiel : Croissance proportionnelle (intérêt composé)
• Linéaire : Croissance absolue constante
• Écart : L'exponentiel crée un écart de plus en plus important avec le temps
Modèle exponentiel : f(x)=1000×1.1^x, croissance de 10% par période
Modèle linéaire : g(x)=1000+100x, augmentation de 100 par période
Modèle quadratique : h(x)=1000+50x², croissance accélérée
f(x) = 1000×1.1^x (exponentiel, 10%)
g(x) = 1000+100x (linéaire)
h(x) = 1000+50x² (quadratique)
f(5) = 1000×1.1^5 = 1000×1.6105 ≈ 1611
g(5) = 1000+100×5 = 1500
h(5) = 1000+50×25 = 2250
f(10) = 1000×1.1^10 = 1000×2.594 ≈ 2594
g(10) = 1000+100×10 = 2000
h(10) = 1000+50×100 = 6000
f(15) = 1000×1.1^15 = 1000×4.177 ≈ 4177
g(15) = 1000+100×15 = 2500
h(15) = 1000+50×225 = 12250
À partir de x≈18-19, f(x) dépasse h(x)
Donc : h(x) > f(x) > g(x) pour x modéré
Et : f(x) > h(x) > g(x) pour x grand
À court terme (x≤18), le modèle quadratique h(x) est le plus avantageux. À long terme (x≥19), le modèle exponentiel f(x) devient le plus avantageux.
• Ordre de croissance : Exponentielle > Polynôme > Linéaire pour x très grand
• Point de bascule : Dépend des coefficients et de la base de l'exponentielle
• Choix : Dépend de l'horizon temporel de l'étude
Modèle exponentiel : f(t)=100×0.95^t, décroissance de 5% par unité de temps
Modèle linéaire : g(t)=100-5t, diminution constante de 5 par unité de temps
f(t) = 100×0.95^t (exponentiel décroissant)
g(t) = 100-5t (linéaire décroissant)
f(1) = 100×0.95 = 95
g(1) = 100-5 = 95
f(5) = 100×0.95^5 = 100×0.774 ≈ 77.4
g(5) = 100-25 = 75
f(10) = 100×0.95^10 = 100×0.599 ≈ 59.9
g(10) = 100-50 = 50
Pour t=10 : f(10) > g(10) → le modèle exponentiel diminue plus lentement
Le modèle linéaire atteint zéro à t=20, tandis que l'exponentiel tend vers 0 sans l'atteindre
Les deux modèles montrent une décroissance, mais le modèle exponentiel f(t)=100×0.95^t diminue plus lentement que le modèle linéaire g(t)=100-5t. Le modèle linéaire atteint zéro à t=20.
• Exponentiel décroissant : Décroissance proportionnelle, jamais nul
• Linéaire décroissant : Décroissance constante, atteint zéro
• Physique : Le modèle exponentiel est plus réaliste pour la radioactivité
Modèle exponentiel : f(x)=1000×1.05^x, intérêts composés de 5% par an
Modèle linéaire : g(x)=1000+50x, intérêts simples de 50€ par an
f(x) = 1000×1.05^x (intérêts composés, 5% par an)
g(x) = 1000+50x (intérêts simples, +50€ par an)
f(10) = 1000×1.05^10
1.05^10 = (1.05^5)^2 ≈ (1.276)^2 ≈ 1.629
f(10) = 1000×1.629 ≈ 1629€
g(10) = 1000+50×10 = 1000+500 = 1500€
Différence = f(10) - g(10) = 1629 - 1500 = 129€
Le modèle exponentiel (intérêts composés) génère plus de rendement à long terme
Écart = 129€ pour 10 ans, soit 12.9€ par an d'avantage
Après 10 ans, l'investissement avec intérêts composés vaut 1629€ contre 1500€ avec intérêts simples. La différence est de 129€.
• Intérêts composés : Croissance exponentielle (intérêt sur l'intérêt)
• Intérêts simples : Croissance linéaire
• Avantage : L'exponentiel est plus avantageux à long terme
Modèle exponentiel : f(x)=10×1.15^x, croissance de 15% par semaine
Modèle linéaire : g(x)=10+1.5x, croissance de 1.5cm par semaine
f(x) = 10×1.15^x (croissance exponentielle, 15% par semaine)
g(x) = 10+1.5x (croissance linéaire, +1.5cm par semaine)
f(8) = 10×1.15^8
1.15^8 = (1.15^4)^2 ≈ (1.749)^2 ≈ 3.059
f(8) = 10×3.059 ≈ 30.6 cm
g(8) = 10+1.5×8 = 10+12 = 22 cm
Différence = f(8) - g(8) = 30.6 - 22 = 8.6 cm
Modèle exponentiel : croissance de 206% en 8 semaines
Modèle linéaire : croissance de 120% en 8 semaines
Au bout de 8 semaines, la plante mesure 30.6cm selon le modèle exponentiel contre 22cm selon le modèle linéaire. La différence est de 8.6cm.
• Exponentiel : Croissance proportionnelle, accélérée
• Linéaire : Croissance constante
• Biologie : La croissance exponentielle est souvent observée au début
Modèle exponentiel : f(x)=2^x, croissance très rapide
Modèle quadratique : g(x)=x², croissance accélérée
Modèle linéaire : h(x)=10x, croissance constante
f(x) = 2^x (exponentiel)
g(x) = x² (quadratique)
h(x) = 10x (linéaire)
f(10) = 2^10 = 1024
g(10) = 10² = 100
h(10) = 10×10 = 100
f(10) = 1024
g(10) = 100
h(10) = 100
Pour x=10 : f(10) > g(10) = h(10)
Donc : f(x) > g(x) > h(x) ou f(x) > h(x) > g(x)
Plus précisément : f(10) >> g(10) = h(10)
Pour x grand : 2^x >> x² >> 10x
Exponentielle > Polynôme > Linéaire
Pour x=10 : f(10)=1024, g(10)=100, h(10)=100. L'ordre de grandeur est : f(x) > g(x) = h(x). En général : Exponentielle > Quadratique > Linéaire.
• Hiérarchie : Pour x grand, l'exponentielle domine tous les polynômes
• Polynômes : Plus le degré est élevé, plus la croissance est rapide
• Linéaire : Croissance constante, la plus lente
