Comparaison à d'autres modèles : Modèles exponentiels et suites géométriques

Le modèle quadratique est un modèle de croissance ou de décroissance non linéaire. La fonction mathématique qui le représente est de la forme :

Où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des constantes, avec \(a \neq 0\).

Le modèle exponentiel est un modèle de croissance ou de décroissance proportionnelle à la valeur actuelle. La fonction mathématique qui le représente est de la forme :

Où :

• \(a\) est la valeur initiale
• \(b\) est la base (pour la forme \(a \cdot b^x\))
• \(k\) est le taux de croissance (pour la forme \(a \cdot e^{kx}\))

• Croissance ou décroissance très rapide
• Taux de variation proportionnel à la valeur actuelle
• Accélération continue (croissance) ou décélération continue (décroissance)
• Utilisé pour modéliser des phénomènes avec multiplication ou division constante

Une suite arithmétique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante appelée "raison" au terme précédent. La formule générale est :

Où :

• \(u_0\) est le premier terme
• \(r\) est la raison (constante)
• \(n\) est le rang du terme

La suite arithmétique est la version discrète du modèle linéaire. Si on note \(f(x) = ax + b\), alors la suite arithmétique est obtenue en évaluant la fonction aux valeurs entières :

Donc : \(u_0 = b\) et \(r = a\)

Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée "raison". La formule générale est :

Où :

• \(u_0\) est le premier terme
• \(q\) est la raison (constante)
• \(n\) est le rang du terme

La suite géométrique est la version discrète du modèle exponentiel. Si \(q = e^k\), alors :

Ce qui correspond au modèle exponentiel évalué aux instants discrets.

Pour des valeurs positives de x et des constantes appropriées, l'ordre de croissance est :

Le modèle exponentiel croît beaucoup plus rapidement que les autres modèles.

Regardons les différences entre les années :

• 110 000 - 100 000 = 10 000 €
• 120 000 - 110 000 = 10 000 €
• 130 000 - 120 000 = 10 000 €

La différence est constante (10 000 €), ce qui indique un modèle linéaire.

1. Le modèle le plus approprié est le modèle linéaire, car la différence entre les valeurs est constante.

2. La formule du modèle linéaire est : \(f(x) = 100 000 + 10 000x\)

3. Pour l'année 5 : \(f(5) = 100 000 + 10 000 \times 5 = 150 000\) €

Le chiffre d'affaires prévu pour l'année 5 est de 150 000 €.

• Fonction linéaire : \(f(x) = ax + b\)
• Suite arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\)
• Croissance constante

• Fonction exponentielle : \(f(x) = a \cdot b^x\)
• Suite géométrique : \(u_n = u_0 \cdot q^n\)
• Croissance proportionnelle à la valeur actuelle

• Fonction quadratique : \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
• Accélération variable
• Forme de parabole

Exercice 1 :

a) Modèle exponentiel (suite géométrique) car la population double (multiplication constante)

b) \(u_n = 100 \cdot 2^n\) où n est le nombre d'heures

c) \(u_5 = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200\) bactéries

Exercice 2 :

a) Modèle linéaire (suite arithmétique) car le prix augmente de manière constante

b) \(f(x) = 50 + 5x\) où x est le nombre d'années

c) \(f(8) = 50 + 5 \cdot 8 = 50 + 40 = 90\) €

Sur le graphique ci-dessus, vous pouvez observer différentes courbes de croissance :

• Modèle linéaire : croissance constante
• Modèle quadratique : croissance accélérée
• Modèle exponentiel : croissance très rapide

Le modèle exponentiel dépasse rapidement les autres modèles.

Le modèle linéaire est utilisé pour :

• Augmentation fixe de salaire
• Consommation d'eau constante
• Production à taux constant

Le modèle exponentiel est utilisé pour :

• Propagation d'épidémies
• Intérêts composés
• Décroissance radioactive

Le modèle quadratique est utilisé pour :

• Chute libre
• Mouvement uniformément accéléré
• Profit en fonction du prix