Modèle exponentiel épidémiologique
\( N(t) = N_0 \cdot e^{rt} \)
Propagation exponentielle d'une épidémie
Taux de reproduction de base (R₀)
R₀ = nombre moyen de personnes infectées par un individu contaminé dans une population entièrement susceptible
Exemple concret :
Si R₀ = 2, chaque personne infectée contamine 2 autres personnes
N(1) = N₀ × 2¹ = 2N₀
N(2) = N₀ × 2² = 4N₀
N(1) = N₀ × 2¹ = 2N₀
N(2) = N₀ × 2² = 4N₀
Interprétation :
R₀ > 1 : épidémie croissante
R₀ = 1 : épidémie stable
R₀ < 1 : épidémie décroissante
R₀ = 1 : épidémie stable
R₀ < 1 : épidémie décroissante
Suites géométriques en épidémiologie
\( u_n = u_0 \cdot q^n \)
Suite géométrique pour modéliser la propagation
u₀ : nombre initial de cas
q : raison de la suite (facteur de transmission)
n : numéro de génération virale
un = nombre de cas à la génération n
Formules clés
\( u_{n+1} = u_n \cdot q \)
\( S_n = u_0 \cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \) (somme des termes)
\( r = \ln(q) \) (taux de croissance)
Conseils & Méthodes
Identifier la raison q à partir de données réelles
Calculer le temps de doublement : t = ln(2)/r
Représenter log(N) en fonction du temps pour vérifier l'exponentiel
Utiliser le modèle pour prédire l'évolution si conditions constantes
Le modèle est valide tant que la population reste homogène
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Une épidémie commence avec 10 cas initiaux. Chaque personne contamine 1.5 personne en moyenne.
u₀ = 10, q = 1.5
u₅ = 10 × (1.5)⁵ = 75.9 ≈ 76 cas
u₀ = 10, q = 1.5
u₅ = 10 × (1.5)⁵ = 75.9 ≈ 76 cas
Exemple 2 :
Temps de doublement : si r = 0.1 par jour
t = ln(2)/0.1 = 6.9 jours
t = ln(2)/0.1 = 6.9 jours
