Utilisation en résolution de problèmes | Mathématiques 1ère

Lisez attentivement l'énoncé pour identifier :

• Les données connues
• Les inconnues à déterminer
• Les relations entre les éléments
• Les contraintes imposées

Traduisez le problème en langage mathématique :

• Choisissez les variables appropriées
• Exprimez les relations par des équations
• Identifiez les conditions à respecter
• Formulez le problème comme une équation ou un système

Appliquez les techniques de factorisation et de manipulation polynomiale :

• Factoriser pour simplifier
• Chercher les racines
• Étudier le signe
• Résoudre les équations

Soit un rectangle dont la longueur dépasse la largeur de 4 cm. Si l'aire est de 21 cm², quelle est la longueur ?

Étape 1 : On cherche la longueur (x), la largeur est (x-4), aire = 21

Étape 2 : x(x-4) = 21 → x² - 4x = 21 → x² - 4x - 21 = 0

Étape 3 : Factoriser x² - 4x - 21 = (x-7)(x+3) = 0

Solutions : x = 7 ou x = -3. Seule x = 7 est acceptable car une longueur est positive.

Un rectangle a une longueur de (x + 3) cm et une largeur de (x - 2) cm. Si l'aire est de 54 cm², trouver x.

Modélisation : (x + 3)(x - 2) = 54

Développement : x² - 2x + 3x - 6 = 54 → x² + x - 60 = 0

Factorisation : x² + x - 60 = (x + 8)(x - 7) = 0

Solutions : x = -8 ou x = 7

Seule x = 7 est acceptable car la largeur (x - 2) doit être positive.

Un cube a un volume de x³ cm³. Si on augmente chaque arête de 2 cm, le volume augmente de 98 cm³. Trouver x.

Volume initial : x³

Volume final : (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Augmentation : (x + 2)³ - x³ = 6x² + 12x + 8 = 98

Équation : 6x² + 12x - 90 = 0 → x² + 2x - 15 = 0

Factorisation : (x + 5)(x - 3) = 0

Solutions : x = -5 ou x = 3. Seule x = 3 est acceptable.

Un objet est lancé verticalement avec une hauteur h(t) = -5t² + 20t + 1, où t est en secondes et h en mètres. Quand l'objet touche-t-il le sol ?

Le sol correspond à h(t) = 0 : -5t² + 20t + 1 = 0

Multiplication par -1 : 5t² - 20t - 1 = 0

Calcul du discriminant : Δ = (-20)² - 4(5)(-1) = 400 + 20 = 420

Solutions : t = (20 ± √420)/10 = (20 ± 2√105)/10 = 2 ± √105/5

Seule la solution positive est acceptable : t = 2 + √105/5 ≈ 4.05 secondes

Un véhicule parcourt une distance d = t² + 4t km en t heures. Trouver le temps pour parcourir 32 km.

Équation : t² + 4t = 32 → t² + 4t - 32 = 0

Factorisation : (t + 8)(t - 4) = 0

Solutions : t = -8 ou t = 4. Seule t = 4 est acceptable (temps positif).

Le profit P(x) d'une entreprise est donné par P(x) = -2x² + 120x - 1000, où x est le nombre d'unités produites. Pour quel nombre d'unités le profit est-il nul ?

Équation : -2x² + 120x - 1000 = 0

Division par -2 : x² - 60x + 500 = 0

Calcul du discriminant : Δ = 60² - 4(1)(500) = 3600 - 2000 = 1600

Solutions : x = (60 ± √1600)/2 = (60 ± 40)/2

Donc x₁ = 10 et x₂ = 50

Le profit est nul pour 10 ou 50 unités produites.

Entre x = 10 et x = 50, le profit est positif (car le coefficient de x² est négatif).

Donc pour que l'entreprise fasse un profit, elle doit produire entre 10 et 50 unités.

Le profit maximum est atteint en x = -b/(2a) = -120/(-4) = 30 unités.

On dispose de 40 m de clôture pour enclore un rectangle. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Soit x la largeur, alors la longueur est (20 - x) (car 2x + 2(20-x) = 40)

Aire = x(20 - x) = 20x - x²

On veut maximiser f(x) = -x² + 20x

Le maximum est atteint en x = -20/(-2) = 10

Donc largeur = 10m, longueur = 10m (carré), aire = 100m²

Le coût C(x) de production de x articles est C(x) = x² - 30x + 400. Pour quelle quantité le coût est-il minimal ?

Le minimum de f(x) = x² - 30x + 400 est atteint en x = 30/2 = 15

Le coût minimal est C(15) = 15² - 30(15) + 400 = 225 - 450 + 400 = 175

Après découpage des coins de côté x, la base de la boîte est un carré de côté (20 - 2x).

La hauteur de la boîte est x.

Volume = aire de la base × hauteur = (20 - 2x)² × x

(20 - 2x)² × x = 200

(400 - 80x + 4x²) × x = 200

400x - 80x² + 4x³ = 200

4x³ - 80x² + 400x - 200 = 0

Division par 4 : x³ - 20x² + 100x - 50 = 0

Cette équation cubique est difficile à résoudre par factorisation simple.

On peut tester des valeurs rationnelles possibles : diviseurs de 50.

Pour x = 5 : 125 - 500 + 500 - 50 = 75 ≠ 0

Pour x = 1 : 1 - 20 + 100 - 50 = 31 ≠ 0

On utilise une méthode numérique ou graphique pour trouver x ≈ 0.56 ou x ≈ 18.44

Mais x < 10 (car 20 - 2x > 0), donc x ≈ 0.56 cm

Un jardin rectangulaire de dimensions L et l est entouré d'une allée de 1 m de largeur. L'aire totale (jardin + allée) est de 48 m². Si le périmètre du jardin est de 24 m, trouver les dimensions du jardin.

Données : 2(L + l) = 24 → L + l = 12

Aire totale : (L + 2)(l + 2) = 48

On a l = 12 - L, donc (L + 2)(14 - L) = 48

14L - L² + 28 - 2L = 48

-L² + 12L - 20 = 0 → L² - 12L + 20 = 0

(L - 10)(L - 2) = 0 → L = 10 ou L = 2

Si L = 10, alors l = 2. Si L = 2, alors l = 10.

Les dimensions sont 10m × 2m.

Périmètre du jardin : 2(10 + 2) = 24m ✓

Aire totale : (10 + 2)(2 + 2) = 12 × 4 = 48m² ✓

Les solutions vérifient bien les conditions du problème.

• Calculer la recette R(x) = quantité × prix unitaire
• Calculer le profit P(x) = R(x) - C(x)
• Chercher le maximum de la fonction P(x)

Quantité produite : x milliers d'unités

Prix unitaire : p(x) = 20 - x euros

Recette : R(x) = x × (20 - x) = 20x - x² milliers d'euros

Profit = Recette - Coût

P(x) = R(x) - C(x) = (20x - x²) - (x² + 5x + 10)

P(x) = 20x - x² - x² - 5x - 10

P(x) = -2x² + 15x - 10

P(x) = -2x² + 15x - 10 est une fonction quadratique avec a = -2 < 0

Le maximum est atteint en x = -b/(2a) = -15/(2×(-2)) = 15/4 = 3.75

Le profit maximum est P(3.75) = -2(3.75)² + 15(3.75) - 10

= -2(14.0625) + 56.25 - 10 = -28.125 + 56.25 - 10 = 18.125

L'entreprise doit produire 3750 unités pour maximiser son profit à 18125 euros.

La factorisation permet de résoudre des inéquations comme P(x) ≥ 0.

Exemple : Résoudre x² - 5x + 6 ≥ 0

Factorisation : (x - 2)(x - 3) ≥ 0

Tableau de signes : le produit est positif quand x ≤ 2 ou x ≥ 3

Solution : x ∈ ]-∞; 2] ∪ [3; +∞[

Le temps T(n) pour compléter un projet avec n personnes est souvent modélisé par T(n) = an² + bn + c.

On peut chercher n pour minimiser T(n) ou pour que T(n) ≤ t_max.

Les polynômes sont utilisés pour modéliser des tendances dans les données expérimentales.

La factorisation peut aider à identifier des points critiques ou des changements de tendance.

• Exprimer h en fonction de r à partir de V = πr²h
• Exprimer la surface totale S = 2πr² + 2πrh en fonction de r seulement
• Chercher le minimum de S(r)

V = πr²h = 100π

Donc h = 100π/(πr²) = 100/r²

S = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 2πr(100/r²) = 2πr² + 200π/r

S(r) = 2πr² + 200π/r

S'(r) = 4πr - 200π/r²

Pour le minimum : S'(r) = 0

4πr - 200π/r² = 0

4πr = 200π/r²

4r³ = 200

r³ = 50

r = ∛50 ≈ 3.68 cm

h = 100/r² = 100/(∛50)² = 100/∛2500 ≈ 7.37 cm

• Comprendre le problème et identifier les inconnues
• Modéliser mathématiquement la situation
• Utiliser la factorisation pour simplifier
• Résoudre les équations obtenues
• Vérifier les solutions dans le contexte

• Géométrie : aires, volumes, dimensions
• Physique : mouvement, trajectoires
• Économie : profit, coût, optimisation
• Ingénierie : conception, matériaux

• Factorisation de polynômes
• Résolution d'équations du second degré
• Étude du signe de polynômes
• Optimisation de fonctions quadratiques