Factorisation sur ℝ et ℂ | Mathématiques 1ère

ℝ est l'ensemble des nombres réels : entiers, rationnels, irrationnels, positifs, négatifs et zéro.

Exemples : -3, 0, 1/2, √2, π, e

ℂ est l'ensemble des nombres complexes de la forme a + bi, où a et b sont réels et i² = -1.

Exemples : 2 + 3i, -1 - i, 5 (nombre réel), i (imaginaire pur)

On a ℝ ⊂ ℂ, c'est-à-dire que tout nombre réel est aussi un nombre complexe (avec partie imaginaire nulle).

Le passage de ℝ à ℂ permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans ℝ.

Cette équation n'a pas de solution dans ℝ car x² ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ.

Mais dans ℂ, les solutions sont x = i et x = -i.

Cela montre pourquoi ℂ est plus "complet" que ℝ pour la factorisation.

Tout polynôme de degré n ≥ 1 à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

Corollaire : Un polynôme de degré n admet exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).

• Sur ℂ, tout polynôme de degré n se factorise complètement
• Sur ℝ, ce n'est pas toujours possible car certaines racines sont complexes
• Si un polynôme à coefficients réels a une racine complexe a + bi, alors a - bi est aussi une racine

Sur ℝ : P(x) = x² + 1 ne se factorise pas car il n'a pas de racines réelles.

Sur ℂ : P(x) = (x - i)(x + i) car les racines sont i et -i.

Ceci montre la différence fondamentale entre factorisation sur ℝ et sur ℂ.

Soit P(x) un polynôme à coefficients réels de degré n. Alors P(x) se factorise sur ℝ sous la forme :

Où :

• r₁, r₂, ..., rₖ sont les racines réelles de P(x)
• m₁, m₂, ..., mₖ sont leurs multiplicités
• Les facteurs quadratiques n'ont pas de racines réelles (discriminant < 0)

Soit P(x) = x⁴ - 1

Sur ℝ : P(x) = (x - 1)(x + 1)(x² + 1)

Le facteur (x² + 1) ne se factorise pas davantage sur ℝ car il n'a pas de racines réelles.

Soit P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6

On trouve que 1 est une racine : P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0

Donc P(x) = (x - 1)(x² - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Sur ℝ, la factorisation complète est : P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Soit P(x) un polynôme à coefficients complexes de degré n. Alors P(x) se factorise complètement sur ℂ :

Où r₁, r₂, ..., rₖ sont toutes les racines complexes de P(x) (y compris les réelles), et m₁, m₂, ..., mₖ sont leurs multiplicités.

On a : m₁ + m₂ + ... + mₖ = n (degré du polynôme)

Sur ℝ : x² + 1 ne se factorise pas.

Sur ℂ : x² + 1 = (x - i)(x + i)

Les racines sont i et -i.

Sur ℝ : x⁴ - 1 = (x - 1)(x + 1)(x² + 1)

Sur ℂ : x⁴ - 1 = (x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i)

Toutes les racines sont trouvées : 1, -1, i, -i

Si un polynôme P(x) à coefficients réels admet une racine complexe a + bi (où a, b ∈ ℝ et b ≠ 0), alors a - bi est aussi une racine de P(x).

Cela signifie que les racines complexes d'un polynôme à coefficients réels viennent par paires conjuguées.

Si a + bi et a - bi sont des racines complexes conjuguées, alors :

(x - (a + bi))(x - (a - bi)) = x² - 2ax + (a² + b²)

Ce facteur quadratique a des coefficients réels et un discriminant négatif : Δ = 4a² - 4(a² + b²) = -4b² < 0

C'est pourquoi ces facteurs apparaissent dans la factorisation sur ℝ.

Les racines de x⁴ + 1 = 0 sont : (√2/2 + i√2/2), (-√2/2 + i√2/2), (-√2/2 - i√2/2), (√2/2 - i√2/2)

Sur ℂ : x⁴ + 1 = (x - r₁)(x - r₂)(x - r₃)(x - r₄)

Sur ℝ : x⁴ + 1 = (x² - √2x + 1)(x² + √2x + 1)

Chaque facteur quadratique provient d'une paire de racines complexes conjuguées.

Donc 1 est bien une racine de P(x).

On effectue la division : P(x) = (x - 1)Q(x)

En divisant, on trouve : Q(x) = x³ - x² + x - 1

On remarque que Q(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0, donc 1 est aussi racine de Q(x)

Donc Q(x) = (x - 1)R(x) où R(x) = x² + 1

Donc P(x) = (x - 1)²(x² + 1)

Sur ℝ, x² + 1 ne se factorise pas davantage car Δ = -4 < 0

Sur ℂ, x² + 1 = (x - i)(x + i)

Donc la factorisation complète sur ℂ est :

• x = 1 est une racine de multiplicité 2
• x = i est une racine de multiplicité 1
• x = -i est une racine de multiplicité 1

Total : 2 + 1 + 1 = 4, qui est le degré de P(x). ✓

• Utiliser l'identité a² - b² = (a-b)(a+b) pour factoriser x⁶ - 1
• Trouver les racines sixièmes de l'unité dans ℂ
• Regrouper les racines complexes conjuguées pour la factorisation sur ℝ

P(x) = x⁶ - 1 = (x³)² - 1² = (x³ - 1)(x³ + 1)

On factorise chaque terme :

• x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
• x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

Donc : P(x) = (x - 1)(x + 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)

Sur ℝ, cette factorisation est complète car :

• Δ₁ = 1 - 4 = -3 < 0 pour x² + x + 1
• Δ₂ = 1 - 4 = -3 < 0 pour x² - x + 1

Les racines de x⁶ = 1 sont les racines sixièmes de l'unité :

xₖ = cos(2πk/6) + i sin(2πk/6) pour k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Soit : x₀ = 1, x₁ = 1/2 + i√3/2, x₂ = -1/2 + i√3/2, x₃ = -1, x₄ = -1/2 - i√3/2, x₅ = 1/2 - i√3/2

• Racines réelles : 1 (multiplicité 1), -1 (multiplicité 1)
• Racines complexes : 1/2 ± i√3/2, -1/2 ± i√3/2
• Chaque racine complexe est de multiplicité 1

Sur ℝ, la factorisation ne contient que des facteurs de degré 1 ou 2 car :

• Les racines réelles donnent des facteurs linéaires (x - r)
• Les paires de racines complexes conjuguées a±bi donnent des facteurs quadratiques x² - 2ax + (a² + b²)
• Il n'existe pas de facteurs irréductibles de degré 3 ou plus sur ℝ

La factorisation permet de résoudre des équations de la forme P(x) = 0. Une fois le polynôme factorisé, on utilise le fait qu'un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.

Exemple : Si P(x) = (x - 1)(x + 2)(x² + 1) = 0, alors x = 1, x = -2, ou x² + 1 = 0.

La factorisation permet d'étudier le signe d'un polynôme en analysant le signe de chaque facteur. Cela est utile pour résoudre des inéquations polynomiales.

La factorisation permet de simplifier des fractions rationnelles en annulant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Exemple : (x² - 1)/(x² - 2x + 1) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)² = (x + 1)/(x - 1) pour x ≠ 1

Commencez par vérifier l'identité donnée, puis trouvez les racines de x² + x + 1 pour la factorisation sur ℂ.

Donc P(x) = (x² + x + 1)².

Pour x² + x + 1, le discriminant est Δ = 1² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0

Donc x² + x + 1 n'a pas de racines réelles et ne se factorise pas sur ℝ.

Les racines de x² + x + 1 = 0 sont :

Soient j = (-1 + i√3)/2 et j̄ = (-1 - i√3)/2

P(x) = 0 ⟺ (x² + x + 1)² = 0 ⟺ x² + x + 1 = 0

Sur ℝ : aucune solution

Sur ℂ : x = j = (-1 + i√3)/2 et x = j̄ = (-1 - i√3)/2 (chacune de multiplicité 2)

On a P(x) = (x² + x + 1)²

Or, pour tout x réel, x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4 > 0

Donc P(x) = (x² + x + 1)² > 0 pour tout x ∈ ℝ

P(x) > 0 sur ℝ, et P(x) = 0 n'a pas de solution réelle.

• ℝ : ensemble des nombres réels
• ℂ : ensemble des nombres complexes
• ℝ ⊂ ℂ
• Sur ℂ, tout polynôme de degré n ≥ 1 admet n racines (théorème fondamental)

• Facteurs linéaires : (x - r) pour les racines réelles r
• Facteurs quadratiques : (x² + ax + b) pour les paires de racines complexes conjuguées
• Les facteurs quadratiques n'ont pas de racines réelles (Δ < 0)

• Tout polynôme se factorise complètement
• Seulement des facteurs linéaires : (x - r) où r est une racine complexe
• Nombre total de facteurs = degré du polynôme (comptés avec multiplicité)

Si P(x) a des coefficients réels et admet une racine complexe a + bi, alors a - bi est aussi une racine.