Définitions & Concepts Clés
ℝ (Réels): Ensemble des nombres réels (rationnels et irrationnels)
ℂ (Complexes): Ensemble des nombres complexes a + bi où i² = -1
\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \)
Polynôme de degré n
Exemples de factorisation :
x² - 4 = (x-2)(x+2)
x² + 1 = (x-i)(x+i) dans ℂ
x² - 2 = (x-√2)(x+√2) dans ℝ
x² + 1 = (x-i)(x+i) dans ℂ
x² - 2 = (x-√2)(x+√2) dans ℝ
Identités remarquables :
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a-b)(a+b)
(a-b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a-b)(a+b)
Méthodes de Factorisation
Recherche de racines évidentes
Identités remarquables
Division de polynômes
Factorisation par groupement
Théorèmes Importants
Théorème fondamental de l'algèbre :
Tout polynôme de degré n ≥ 1 admet exactement n racines dans ℂ (comptées avec multiplicité).
Tout polynôme de degré n ≥ 1 admet exactement n racines dans ℂ (comptées avec multiplicité).
Théorème de d'Alembert-Gauss :
Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.
Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.
Conseils & Astuces
Toujours chercher les racines rationnelles possibles
Utiliser la somme et le produit des coefficients
Pour ℂ, utiliser i² = -1
Un polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle
Les racines complexes vont par paires conjuguées
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier que x² + a² ne se factorise pas dans ℝ si a ≠ 0
Erreur 2 :
Confondre factorisation dans ℝ et dans ℂ
Erreur 3 :
Ne pas vérifier la division de polynômes
Représentations Graphiques
Exemples Complets
P(x) = x² - 5x + 6 :
Δ = 25 - 24 = 1, x₁ = 2, x₂ = 3
P(x) = (x-2)(x-3) dans ℝ
P(x) = (x-2)(x-3) dans ℝ
Q(x) = x² + 4 :
Pas de racines réelles
Q(x) = (x-2i)(x+2i) dans ℂ
Q(x) = (x-2i)(x+2i) dans ℂ
R(x) = x³ - x :
R(x) = x(x²-1) = x(x-1)(x+1) dans ℝ
