Relations de Viète
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) et \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
Pour un trinôme \( ax^2 + bx + c \)
Définition :
Les relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme expriment les sommes et produits des racines en fonction des coefficients.
Objectif :
Utiliser ces relations pour déterminer les racines sans résoudre complètement l'équation.
Formules Générales
Somme des racines
Produit des racines
Symétries des racines
Coefficients opposés
Relations pour le degré 2
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
\( (x_1 - x_2)^2 = \frac{\Delta}{a^2} \)
Cas particuliers
a + b + c = 0 :
Une racine est x = 1, l'autre est x = c/a
a - b + c = 0 :
Une racine est x = -1, l'autre est x = -c/a
Conseils & Astuces
Utiliser les relations pour vérifier les solutions
Trouver une racine rationnelle possible
Tester les cas particuliers avant de calculer
Utiliser les relations pour former un trinôme
Les relations sont symétriques par rapport aux racines
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
S = 5, P = 6 ⇒ x₁ = 2, x₂ = 3
S = 5, P = 6 ⇒ x₁ = 2, x₂ = 3
Exemple 2 :
\( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)
S = 2, P = -3 ⇒ x₁ = -1, x₂ = 3
S = 2, P = -3 ⇒ x₁ = -1, x₂ = 3
Exemple 3 :
Trouver un trinôme de racines 3 et -2:
x² - (3-2)x + (3×(-2)) = x² - x - 6
x² - (3-2)x + (3×(-2)) = x² - x - 6
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre les signes dans les relations
Erreur 2 :
Oublier le coefficient a dans les relations
Erreur 3 :
Appliquer les relations à tort pour des polynômes de degré > 2
