Racines et relations avec les coefficients | Mathématiques 1ère

Les relations de Viète expriment des relations entre les coefficients d'un polynôme et ses racines. Soit P(x) un polynôme de degré n :

avec racines r₁, r₂, ..., rₙ. Alors :

• Somme des racines : r₁ + r₂ + ... + rₙ = -aₙ₋₁/aₙ
• Somme des produits deux à deux : Σᵢ<j rᵢrⱼ = aₙ₋₂/aₙ
• Produit de toutes les racines : r₁r₂...rₙ = (-1)ⁿ a₀/aₙ

Pour P(x) = ax² + bx + c avec racines r₁ et r₂ :

• Somme des racines : r₁ + r₂ = -b/a
• Produit des racines : r₁ × r₂ = c/a

Exemple : P(x) = x² - 5x + 6, donc a=1, b=-5, c=6

Donc r₁ + r₂ = 5 et r₁ × r₂ = 6

Pour P(x) = ax³ + bx² + cx + d avec racines r₁, r₂, r₃ :

• Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ = -b/a
• Somme des produits deux à deux : r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a
• Produit des racines : r₁r₂r₃ = -d/a

Soit P(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 et racines r₁ et r₂ (réelles ou complexes).

Si r₁ et r₂ sont les racines de P(x), alors :

P(x) = a(x - r₁)(x - r₂) = a[x² - (r₁ + r₂)x + r₁r₂]

P(x) = ax² - a(r₁ + r₂)x + ar₁r₂

En comparant avec P(x) = ax² + bx + c :

• -a(r₁ + r₂) = b → r₁ + r₂ = -b/a
• ar₁r₂ = c → r₁r₂ = c/a

Soit P(x) = 2x² - 6x + 4

Ici, a = 2, b = -6, c = 4

Somme des racines : r₁ + r₂ = -(-6)/2 = 6/2 = 3

Produit des racines : r₁ × r₂ = 4/2 = 2

On peut vérifier : P(x) = 2(x² - 3x + 2) = 2(x - 1)(x - 2)

Donc r₁ = 1 et r₂ = 2, et effectivement 1 + 2 = 3 et 1 × 2 = 2

Soit P(x) = ax³ + bx² + cx + d avec a ≠ 0 et racines r₁, r₂, r₃.

Si r₁, r₂, r₃ sont les racines de P(x), alors :

P(x) = a(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃)

En développant : P(x) = a[x³ - (r₁ + r₂ + r₃)x² + (r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃)x - r₁r₂r₃]

P(x) = ax³ - a(r₁ + r₂ + r₃)x² + a(r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃)x - ar₁r₂r₃

En comparant avec P(x) = ax³ + bx² + cx + d :

-a(r₁ + r₂ + r₃) = b → r₁ + r₂ + r₃ = -b/a

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Ici, a = 1, b = -6, c = 11, d = -6

Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ = -(-6)/1 = 6

Somme des produits deux à deux : r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 11/1 = 11

Produit des racines : r₁r₂r₃ = -(-6)/1 = 6

On peut vérifier : P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Donc r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 3, et effectivement : 1+2+3 = 6, 1×2+1×3+2×3 = 11, 1×2×3 = 6

Soit P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e avec a ≠ 0 et racines r₁, r₂, r₃, r₄.

• Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = -b/a
• Somme des produits deux à deux : r₁r₂ + r₁r₃ + r₁r₄ + r₂r₃ + r₂r₄ + r₃r₄ = c/a
• Somme des produits trois à trois : r₁r₂r₃ + r₁r₂r₄ + r₁r₃r₄ + r₂r₃r₄ = -d/a
• Produit de toutes les racines : r₁r₂r₃r₄ = e/a

Pour un polynôme de degré n, les relations de Viète s'expriment comme suit :

• La somme des racines = -aₙ₋₁/aₙ
• La somme des produits deux à deux = aₙ₋₂/aₙ
• La somme des produits trois à trois = -aₙ₋₃/aₙ
• Le signe alterne à chaque fois
• Le produit de toutes les racines = (-1)ⁿ a₀/aₙ

Soit P(x) = x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24

Supposons que les racines soient 1, 2, 3, 4

Vérifions les relations :

• Somme : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = -(-10)/1 ✓
• Somme des produits deux à deux : 1×2 + 1×3 + 1×4 + 2×3 + 2×4 + 3×4 = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35 = 35/1 ✓
• Produit : 1×2×3×4 = 24 = 24/1 ✓

Pour P(x) = x³ - 7x² + 14x - 8, on a a = 1, b = -7, c = 14, d = -8.

Soient r₁, r₂, r₃ les racines de P(x).

• Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ = -(-7)/1 = 7
• Somme des produits deux à deux : r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 14/1 = 14
• Produit des racines : r₁r₂r₃ = -(-8)/1 = 8

On cherche trois nombres r₁, r₂, r₃ tels que :

• r₁ + r₂ + r₃ = 7
• r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 14
• r₁r₂r₃ = 8

Essayons des diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8

Si r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 4 :

• 1 + 2 + 4 = 7 ✓
• 1×2 + 1×4 + 2×4 = 2 + 4 + 8 = 14 ✓
• 1×2×4 = 8 ✓

Vérifions que P(1) = P(2) = P(4) = 0 :

P(1) = 1³ - 7(1)² + 14(1) - 8 = 1 - 7 + 14 - 8 = 0 ✓

P(2) = 2³ - 7(2)² + 14(2) - 8 = 8 - 28 + 28 - 8 = 0 ✓

P(4) = 4³ - 7(4)² + 14(4) - 8 = 64 - 112 + 56 - 8 = 0 ✓

Donc les racines sont bien 1, 2 et 4.

Les relations de Viète permettent de chercher les racines d'un polynôme en résolvant un système d'équations. Si on connaît certaines propriétés des racines, on peut en déduire les autres.

Exemple : Si on sait qu'un polynôme de degré 3 a une racine égale à 1, et que la somme des racines est 5, alors la somme des deux autres racines est 4.

Après avoir trouvé les racines d'un polynôme, on peut vérifier que les relations de Viète sont satisfaites.

Exemple : Si on a trouvé que les racines de x² - 5x + 6 sont 2 et 3, on vérifie que 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6.

Si on connaît les racines d'un polynôme, on peut utiliser les relations de Viète pour déterminer ses coefficients.

Exemple : Si les racines sont 1, 2, 3, alors la somme est 6, la somme des produits deux à deux est 11, et le produit est 6. Donc le polynôme est x³ - 6x² + 11x - 6.

• Factoriser P(x) par x
• Appliquer les relations de Viète au polynôme de degré 3
• Identifier toutes les racines
• Vérifier les relations pour le polynôme de degré 4

P(x) = x⁴ - 6x³ + 11x² - 6x

P(x) = x(x³ - 6x² + 11x - 6)

Donc x = 0 est une racine, et Q(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 contient les autres racines.

Pour Q(x) = x³ - 6x² + 11x - 6, on a a = 1, b = -6, c = 11, d = -6.

Soient r₁, r₂, r₃ les racines de Q(x).

• Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ = -(-6)/1 = 6
• Somme des produits deux à deux : r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 11/1 = 11
• Produit des racines : r₁r₂r₃ = -(-6)/1 = 6

On cherche trois nombres r₁, r₂, r₃ tels que :

• r₁ + r₂ + r₃ = 6
• r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 11
• r₁r₂r₃ = 6

Essayons des diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6

Si r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 3 :

• 1 + 2 + 3 = 6 ✓
• 1×2 + 1×3 + 2×3 = 2 + 3 + 6 = 11 ✓
• 1×2×3 = 6 ✓

Donc les racines de P(x) sont : 0, 1, 2, 3

P(x) = x⁴ - 6x³ + 11x² - 6x + 0

Les racines sont 0, 1, 2, 3.

• Somme : 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = -(-6)/1 ✓
• Somme des produits deux à deux : 0×1 + 0×2 + 0×3 + 1×2 + 1×3 + 2×3 = 0 + 0 + 0 + 2 + 3 + 6 = 11 = 11/1 ✓
• Produit : 0 × 1 × 2 × 3 = 0 = 0/1 ✓

Si r₁, r₂, ..., rₙ sont les racines d'un polynôme P(x) de degré n, alors :

Où aₙ est le coefficient dominant.

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 avec racines 1, 2, 3.

Alors : P(x) = 1(x - 1)(x - 2)(x - 3)

En développant : (x - 1)(x - 2)(x - 3) = (x² - 3x + 2)(x - 3) = x³ - 6x² + 11x - 6

On retrouve bien le polynôme original.

Si un polynôme à coefficients entiers a une racine rationnelle p/q (p et q entiers premiers entre eux), alors p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant.

Associé aux relations de Viète, cela permet de trouver les racines rationnelles possibles.

Une racine double signifie que (x - 2)² divise P(x). Divisez P(x) par (x - 2)² pour obtenir un polynôme de degré 2, puis trouvez ses racines.

Une racine double signifie que (x - 2)² divise P(x), mais (x - 2)³ ne le divise pas. Autrement dit, 2 est une racine de multiplicité 2.

Cela signifie que P(x) = (x - 2)² × Q(x), où Q(x) est un polynôme de degré 2.

On effectue la division de P(x) = x⁴ - 5x³ + 6x² + 4x - 8 par (x - 2)² = x² - 4x + 4

En effectuant la division : P(x) = (x² - 4x + 4)(x² - x - 2)

Donc P(x) = (x - 2)²(x² - x - 2)

P(x) = x⁴ - 5x³ + 6x² + 4x - 8

Donc a₄ = 1, a₃ = -5, a₂ = 6, a₁ = 4, a₀ = -8

Soient r₁, r₂, r₃, r₄ les racines de P(x).

• Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = -(-5)/1 = 5
• Somme des produits deux à deux : Σᵢ<j rᵢrⱼ = 6/1 = 6
• Somme des produits trois à trois : Σᵢ<j<k rᵢrⱼrₖ = -4/1 = -4
• Produit des racines : r₁r₂r₃r₄ = (-1)⁴(-8)/1 = -8

On a P(x) = (x - 2)²(x² - x - 2)

Factorisons x² - x - 2 : x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

Donc P(x) = (x - 2)²(x - 2)(x + 1) = (x - 2)³(x + 1)

Les racines sont : 2 (multiplicité 3) et -1 (multiplicité 1)

Les racines sont : r₁ = 2, r₂ = 2, r₃ = 2, r₄ = -1

• Somme : 2 + 2 + 2 + (-1) = 5 ✓
• Somme des produits deux à deux : 2×2 + 2×2 + 2×2 + 2×(-1) + 2×(-1) + 2×(-1) = 4 + 4 + 4 - 2 - 2 - 2 = 6 ✓
• Produit : 2 × 2 × 2 × (-1) = -8 ✓

Pour P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ avec racines r₁, r₂, ..., rₙ :

• Somme des racines = -aₙ₋₁/aₙ
• Somme des produits deux à deux = aₙ₋₂/aₙ
• Somme des produits trois à trois = -aₙ₋₃/aₙ
• Le signe alterne à chaque fois
• Produit de toutes les racines = (-1)ⁿ a₀/aₙ

Pour ax² + bx + c avec racines r₁, r₂ : r₁ + r₂ = -b/a, r₁r₂ = c/a

Pour ax³ + bx² + cx + d avec racines r₁, r₂, r₃ : r₁ + r₂ + r₃ = -b/a, r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a, r₁r₂r₃ = -d/a

• Trouver les racines d'un polynôme
• Vérifier des calculs
• Créer un polynôme à partir de ses racines
• Factoriser des polynômes
• Étudier les propriétés des racines