Formules de Viète pour le degré 2 : Pour un polynôme \(ax^2 + bx + c = 0\) de racines \(r_1\) et \(r_2\), on a :
\(S = r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\) et \(P = r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}\)
Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) :
- Somme des racines : \(S = r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}\)
- Produit des racines : \(P = r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a}\)
Pour \(2x^2 - 6x + 4 = 0\), on a : \(a = 2\), \(b = -6\), \(c = 4\)
Somme des racines : \(S = r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Produit des racines : \(P = r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2\)
Résolvons l'équation pour vérifier :
\(2x^2 - 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(\Delta = 9 - 8 = 1\)
\(x_1 = \frac{3-1}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{3+1}{2} = 2\)
\(S = 1 + 2 = 3\) ✓, \(P = 1 \times 2 = 2\) ✓
La somme des racines est 3 et leur produit est 2.
• Formules de Viète : \(S = -\frac{b}{a}\) et \(P = \frac{c}{a}\) pour \(ax^2 + bx + c = 0\)
• Application directe : Pas besoin de résoudre l'équation
• Vérification : Possible en résolvant l'équation
Construction d'un trinôme : Si on connaît la somme \(S\) et le produit \(P\) des racines, le trinôme est de la forme \(x^2 - Sx + P\).
Si \(S = r_1 + r_2\) et \(P = r_1 \cdot r_2\),
alors le trinôme est : \(x^2 - Sx + P\)
Étant donné \(S = 7\) et \(P = 12\), le trinôme est :
\(x^2 - 7x + 12 = 0\)
\(\Delta = 49 - 48 = 1\)
\(x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4\)
\(S = 3 + 4 = 7\) ✓
\(P = 3 \times 4 = 12\) ✓
Les deux racines sont 3 et 4.
• Construction inverse : Si on connaît \(S\) et \(P\), le trinôme est \(x^2 - Sx + P\)
• Résolution : Utiliser la méthode classique
• Vérification : Confirmer que la somme et le produit sont corrects
Somme des inverses : Pour trois racines \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), la somme des inverses est \(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{r_2r_3 + r_1r_3 + r_1r_2}{r_1r_2r_3}\).
Pour \(x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0\),
- \(S_1 = r_1 + r_2 + r_3 = -a_2\)
- \(S_2 = r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = a_1\)
- \(S_3 = r_1r_2r_3 = -a_0\)
Pour \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\), on a :
\(a_2 = -6\), \(a_1 = 11\), \(a_0 = -6\)
Soient \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\) les racines :
- \(r_1 + r_2 + r_3 = -(-6) = 6\)
- \(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = 11\)
- \(r_1r_2r_3 = -(-6) = 6\)
\(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{r_2r_3 + r_1r_3 + r_1r_2}{r_1r_2r_3} = \frac{11}{6}\)
On peut vérifier que les racines sont 1, 2 et 3 :
\(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6}\) ✓
La somme des inverses des racines est \(\frac{11}{6}\).
• Somme des inverses : \(\sum \frac{1}{r_i} = \frac{S_2}{S_3}\) pour un polynôme unitaire
• Formules de Viète : Utiliser les relations entre coefficients et sommes de produits
• Transformation algébrique : Convertir la somme des inverses en fraction
Théorème de Bézout : Si \(r\) est une racine d'un polynôme \(P(x)\), alors \((x-r)\) divise \(P(x)\), c'est-à-dire \(P(r) = 0\).
Si \(r\) est une racine de \(P(x)\),
alors \(P(r) = 0\)
Si 1 et 2 sont des racines de \(P(x) = x^3 + ax + b\), alors :
\(P(1) = 0\) et \(P(2) = 0\)
\(P(1) = 1^3 + a(1) + b = 1 + a + b = 0\)
Donc : \(a + b = -1\)
\(P(2) = 2^3 + a(2) + b = 8 + 2a + b = 0\)
Donc : \(2a + b = -8\)
\(\begin{cases} a + b = -1 \\ 2a + b = -8 \end{cases}\)
En soustrayant la première équation de la deuxième :
\((2a + b) - (a + b) = -8 - (-1)\)
\(a = -7\)
En remplaçant dans la première équation :
\(-7 + b = -1\), donc \(b = 6\)
\(P(x) = x^3 - 7x + 6\)
\(P(1) = 1 - 7 + 6 = 0\) ✓
\(P(2) = 8 - 14 + 6 = 0\) ✓
Les réels sont \(a = -7\) et \(b = 6\).
• Théorème de Bézout : Si \(r\) est une racine, alors \(P(r) = 0\)
• Système d'équations : Utiliser autant de conditions qu'il y a d'inconnues
• Vérification : Remplacer les valeurs trouvées dans les conditions initiales
Identité algébrique : Pour exprimer \(r_1^2 + r_2^2\) en fonction de la somme et du produit des racines, on utilise l'identité : \(r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2\).
\(r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2\)
Pour l'équation \(x^2 + px + q = 0\) de racines \(r_1\) et \(r_2\) :
- Somme : \(r_1 + r_2 = -p\)
- Produit : \(r_1 \cdot r_2 = q\)
\(r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1r_2\)
\(r_1^2 + r_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q\)
Soit l'équation \(x^2 - 5x + 6 = 0\) (donc \(p = -5\), \(q = 6\))
Les racines sont 2 et 3
\(r_1^2 + r_2^2 = 4 + 9 = 13\)
Par la formule : \(p^2 - 2q = 25 - 12 = 13\) ✓
\(r_1^2 + r_2^2 = p^2 - 2q\)
• Identité algébrique : \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\)
• Formules de Viète : Exprimer somme et produit en fonction des coefficients
• Substitution : Remplacer les expressions dans l'identité
- Formules de Viète : \(S_k = (-1)^k \cdot \frac{a_{n-k}}{a_n}\) pour la somme des produits de k racines
- Identités algébriques : Transformations pour exprimer des expressions complexes
- Théorème de Bézout : Si \(r\) est racine, alors \(P(r) = 0\)
- Systèmes d'équations : Utiliser plusieurs conditions pour déterminer des coefficients
- Le nombre de racines (comptées avec multiplicité) d'un polynôme est égal à son degré
- Les formules de Viète s'appliquent à tout polynôme scindé (possédant toutes ses racines)
- Les coefficients du polynôme unitaire sont les fonctions symétriques élémentaires des racines
- Les racines complexes d'un polynôme réel apparaissent par paires conjuguées
- Un polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle
