Division euclidienne de polynômes | Exercices corrigés

Concepts & Exercices

\(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\)

Division euclidienne

Relation fondamentale

degré(R) < degré(B)

Le reste est de degré strictement inférieur au diviseur

Cas particulier

R(x) = 0

B divise A

Théorème de Bézout

P(a) = 0 ⇔ (x-a)|P(x)

Application de la division

Exercice 1

Diviser \(A(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5\) par \(B(x) = x^2 - x + 1\)

Exercice 2

Déterminer le quotient et le reste de la division de \(P(x) = x^3 - 2x + 4\) par \(D(x) = x - 2\)

Exercice 3

Trouver les réels \(a\) et \(b\) tels que \(x^3 + ax + b\) soit divisible par \(x^2 - 4\)

Exercice 4

Calculer le quotient de la division de \(x^5 - 1\) par \(x - 1\)

Exercice 5

Déterminer le reste de la division de \(P(x) = x^{10} + 2x^5 + 3\) par \(x^2 - 1\)

Corrigé : Exercices 1 à 3

1 Division posée

Définition :

Division euclidienne de polynômes : Soient \(A(x)\) et \(B(x) \neq 0\) deux polynômes. Il existe un unique couple \((Q(x), R(x))\) tel que \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) avec degré\((R) <\) degré\((B)\) ou \(R(x) = 0\).

Algorithme de division :

Diviser le terme dominant de \(A(x)\) par le terme dominant de \(B(x)\)
Multiplier le quotient partiel par \(B(x)\) et soustraire de \(A(x)\)
Répéter jusqu'à obtenir un reste de degré inférieur à \(B(x)\)

Étape 1: \(\frac{x^4}{x^2} = x^2\)
\(x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2\)
\((x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) - (x^4 - x^3 + x^2) = -2x^3 + x^2 - x + 5\)

Étape 2: \(\frac{-2x^3}{x^2} = -2x\)
\(-2x(x^2 - x + 1) = -2x^3 + 2x^2 - 2x\)
\((-2x^3 + x^2 - x + 5) - (-2x^3 + 2x^2 - 2x) = -x^2 + x + 5\)

Étape 3: \(\frac{-x^2}{x^2} = -1\)
\(-1(x^2 - x + 1) = -x^2 + x - 1\)
\((-x^2 + x + 5) - (-x^2 + x - 1) = 6\)

Conclusion

Quotient : \(Q(x) = x^2 - 2x - 1\)

Reste : \(R(x) = 6\)

Q(x) = x² - 2x - 1, R(x) = 6

Réponse finale :

\(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5 = (x^2 - x + 1)(x^2 - 2x - 1) + 6\)

Règles appliquées :

• Division euclidienne : \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) avec degré\((R) <\) degré\((B)\)

• Algorithme : Diviser les termes dominants successivement

• Vérification : \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) doit être vrai

2 Division par un binôme

Définition :

Division par un binôme : Lorsque le diviseur est de la forme \((x-a)\), on peut utiliser la méthode de Ruffini ou effectuer la division classique.

Étape 1: \(\frac{x^3}{x} = x^2\)
\(x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2\)
\((x^3 - 2x + 4) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - 2x + 4\)

Étape 2: \(\frac{2x^2}{x} = 2x\)
\(2x(x - 2) = 2x^2 - 4x\)
\((2x^2 - 2x + 4) - (2x^2 - 4x) = 2x + 4\)

Étape 3: \(\frac{2x}{x} = 2\)
\(2(x - 2) = 2x - 4\)
\((2x + 4) - (2x - 4) = 8\)

Conclusion

Quotient : \(Q(x) = x^2 + 2x + 2\)

Reste : \(R(x) = 8\)

Q(x) = x² + 2x + 2, R(x) = 8

Réponse finale :

\(x^3 - 2x + 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2) + 8\)

Règles appliquées :

• Division par binôme : Méthode classique ou Ruffini

• Théorème du reste : Le reste de la division par \((x-a)\) est \(P(a)\)

• Vérification : \(P(a) = R\) (ici \(P(2) = 8\))

3 Condition de divisibilité

Définition :

Condition de divisibilité : Si \(A(x)\) est divisible par \(B(x)\), alors le reste de la division euclidienne est nul.

Étape 1 : Poser la division

\(x^3 + ax + b = (x^2 - 4)Q(x) + R(x)\)

Comme \(x^2 - 4\) est de degré 2, le reste est de degré 1 ou 0.

Étape 2 : Conditions de divisibilité

Si \(x^2 - 4\) divise \(x^3 + ax + b\), alors \(R(x) = 0\).

Donc : \(x^3 + ax + b = (x^2 - 4)Q(x)\)

Étape 3 : Utiliser les racines du diviseur

\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)

Donc : \(P(2) = 0\) et \(P(-2) = 0\)

Étape 4 : Première condition

\(P(2) = 2^3 + a(2) + b = 8 + 2a + b = 0\)

Donc : \(2a + b = -8\)

Étape 5 : Deuxième condition

\(P(-2) = (-2)^3 + a(-2) + b = -8 - 2a + b = 0\)

Donc : \(-2a + b = 8\)

Étape 6 : Résoudre le système

\(\begin{cases} 2a + b = -8 \\ -2a + b = 8 \end{cases}\)

Par addition : \(2b = 0\), donc \(b = 0\)

Remplaçant dans la première équation : \(2a = -8\), donc \(a = -4\)

a = -4, b = 0

Réponse finale :

Les réels \(a = -4\) et \(b = 0\) permettent à \(x^3 - 4x\) d'être divisible par \(x^2 - 4\).

Règles appliquées :

• Condition de divisibilité : Si \(B(x)\) divise \(A(x)\), alors \(R(x) = 0\)

• Théorème de Bézout : Si \(a\) est racine, alors \((x-a)\) divise le polynôme

• Système d'équations : Utiliser toutes les racines du diviseur

Corrigé : Exercices 4 à 5

4 Division de \(x^n - 1\)

Définition :

Identité remarquable : \(x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x + 1)\) pour tout entier \(n \geq 1\).

Étape 1 : Reconnaître la forme

\(x^5 - 1\) est de la forme \(x^n - 1\) avec \(n = 5\)

Étape 2 : Appliquer l'identité remarquable

\(x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)\)

Étape 3 : Identifier le quotient

Le quotient de la division de \(x^5 - 1\) par \(x - 1\) est : \(Q(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)

Étape 4 : Vérifier

\((x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x - x^4 - x^3 - x^2 - x - 1 = x^5 - 1\) ✓

Q(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1

Réponse finale :

Le quotient de la division de \(x^5 - 1\) par \(x - 1\) est \(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\).

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \(x^n - 1 = (x-1)(x^{n-1} + ... + x + 1)\)

• Division exacte : \(x - 1\) divise toujours \(x^n - 1\)

• Vérification : Développer pour confirmer le résultat

5 Reste d'une division complexe

Définition :

Reste de division : Le reste de la division de \(P(x)\) par un polynôme de degré \(n\) est de degré strictement inférieur à \(n\).

Étape 1 : Identifier le diviseur

\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) est de degré 2

Donc le reste est de degré 1 ou 0 : \(R(x) = ax + b\)

Étape 2 : Poser la relation de division

\(P(x) = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b\)

Étape 3 : Utiliser les racines du diviseur

\(P(1) = a(1) + b = a + b\)

\(P(-1) = a(-1) + b = -a + b\)

Étape 4 : Calculer P(1)

\(P(1) = 1^{10} + 2(1)^5 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6\)

Donc : \(a + b = 6\)

Étape 5 : Calculer P(-1)

\(P(-1) = (-1)^{10} + 2(-1)^5 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2\)

Donc : \(-a + b = 2\)

Étape 6 : Résoudre le système

\(\begin{cases} a + b = 6 \\ -a + b = 2 \end{cases}\)

Par addition : \(2b = 8\), donc \(b = 4\)

Remplaçant dans la première équation : \(a = 6 - 4 = 2\)

R(x) = 2x + 4

Réponse finale :

Le reste de la division de \(x^{10} + 2x^5 + 3\) par \(x^2 - 1\) est \(2x + 4\).

Règles appliquées :

• Degré du reste : Strictement inférieur au degré du diviseur

• Évaluation : Utiliser les racines du diviseur pour déterminer le reste

• Système linéaire : Utiliser autant d'évaluations que nécessaire

Cours bien détaillé

\(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\)

Division euclidienne

🎯

Théorème : Pour tout couple de polynômes (A, B) avec B ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) tel que A = BQ + R et degré(R) < degré(B).

📊

Terminologie : A est le dividende, B est le diviseur, Q est le quotient, R est le reste.

⚖️

Divisibilité : B divise A si et seulement si le reste R est nul.

📈

Application : Permet de factoriser des polynômes ou de déterminer des restes.

💡

Conseil : Toujours vérifier la division en développant B×Q + R

🔍

Attention : Le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur

⚡

Astuce : Pour diviser par (x-a), utiliser la méthode de Ruffini

📋

Méthode : Diviser les termes dominants successivement

✅

Vérification : A = BQ + R doit être exactement vérifié

📍

Identité : Connaître x^n - 1 = (x-1)(x^(n-1) + ... + x + 1)

Méthodes de division :

Division posée : Comme pour les nombres, diviser les termes dominants
Méthode de Ruffini : Pour diviser par un binôme de la forme (x-a)
Évaluation aux racines : Pour déterminer le reste
Identités remarquables : Pour certains cas particuliers

Règles importantes :

Le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur
Le quotient et le reste sont uniques
Si le reste est nul, le diviseur divise exactement le dividende
Le théorème du reste : le reste de la division par (x-a) est P(a)
On peut diviser par n'importe quel polynôme non nul

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