Division euclidienne de polynômes : Soient \(A(x)\) et \(B(x) \neq 0\) deux polynômes. Il existe un unique couple \((Q(x), R(x))\) tel que \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) avec degré\((R) <\) degré\((B)\) ou \(R(x) = 0\).
- Diviser le terme dominant de \(A(x)\) par le terme dominant de \(B(x)\)
- Multiplier le quotient partiel par \(B(x)\) et soustraire de \(A(x)\)
- Répéter jusqu'à obtenir un reste de degré inférieur à \(B(x)\)
\(\frac{x^4}{x^2} = x^2\)
\(x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2\)
\((x^4 - 2x^3 + x - 1) - (x^4 - x^3 + x^2) = -x^3 - x^2 + x - 1\)
\(\frac{-x^3}{x^2} = -x\)
\(-x(x^2 - x + 1) = -x^3 + x^2 - x\)
\((-x^3 - x^2 + x - 1) - (-x^3 + x^2 - x) = -2x^2 + 2x - 1\)
\(\frac{-2x^2}{x^2} = -2\)
\(-2(x^2 - x + 1) = -2x^2 + 2x - 2\)
\((-2x^2 + 2x - 1) - (-2x^2 + 2x - 2) = 1\)
Le quotient est \(Q(x) = x^2 - x - 2\) et le reste est \(R(x) = 1\)
\(x^4 - 2x^3 + x - 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 - x - 2) + 1\)
• Division euclidienne : \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) avec degré\((R) <\) degré\((B)\)
• Algorithme : Diviser les termes dominants successivement
• Vérification : \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\) doit être vrai
Théorème de Bézout : Soit \(P(x)\) un polynôme. Alors \(a\) est une racine de \(P(x)\) si et seulement si \((x-a)\) divise \(P(x)\).
\(P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\)
Donc \((x-1)\) divise \(P(x)\)
Divisons \(P(x)\) par \((x-1)\) : \(P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6)\)
\(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
\(P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\)
\((x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x^2-5x+6) = x^3-6x^2+11x-6\) ✓
\(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)\)
• Théorème de Bézout : Si \(P(a) = 0\) alors \((x-a)\) divise \(P(x)\)
• Factorisation : Diviser par le facteur connu puis factoriser le quotient
• Vérification : Développer pour confirmer la factorisation
Équation bicarrée : Équation de la forme \(ax^4 + bx^2 + c = 0\). On pose \(X = x^2\) pour obtenir une équation du second degré en \(X\).
Posons \(X = x^2\). L'équation devient : \(X^2 - 5X + 4 = 0\)
\(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9\)
\(X_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1\) et \(X_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\)
Pour \(X = 1\) : \(x^2 = 1 \Rightarrow x = 1\) ou \(x = -1\)
Pour \(X = 4\) : \(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\) ou \(x = -2\)
\(1^4 - 5(1)^2 + 4 = 0\), \((-1)^4 - 5(-1)^2 + 4 = 0\)
\(2^4 - 5(2)^2 + 4 = 0\), \((-2)^4 - 5(-2)^2 + 4 = 0\)
Les solutions de l'équation \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) sont : \(x \in \{-2, -1, 1, 2\}\)
• Équation bicarrée : Poser \(X = x^2\) pour ramener à une équation du second degré
• Retour à la variable : \(x^2 = X \Rightarrow x = \pm\sqrt{X}\) (si \(X \geq 0\))
• Solutions : Toutes les combinaisons de signes possibles
Identités remarquables : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) et \(a^2 + b^2\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\).
\(x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2\)
\(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)\)
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
\(x^2 + 4\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) (car \(\Delta < 0\))
\(x^4 - 16 = (x-2)(x+2)(x^2 + 4)\)
\((x-2)(x+2)(x^2+4) = (x^2-4)(x^2+4) = x^4-16\) ✓
\(P(x) = x^4 - 16 = (x-2)(x+2)(x^2+4)\) est la factorisation en facteurs irréductibles sur \(\mathbb{R}\).
• Différence de carrés : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
• Irréductibilité : \(x^2 + a\) (avec \(a > 0\)) est irréductible sur \(\mathbb{R}\)
• Factorisation complète : Tous les facteurs doivent être irréductibles
Divisibilité par un carré : Si \(P(x)\) est divisible par \((x-a)^2\), alors \(P(a) = 0\) et \(P'(a) = 0\).
\(P(x) = x^3 + ax + b\)
\(P'(x) = 3x^2 + a\)
Si \((x-1)^2\) divise \(P(x)\), alors :
\(P(1) = 0\) et \(P'(1) = 0\)
\(P(1) = 1^3 + a(1) + b = 1 + a + b = 0\)
Donc : \(a + b = -1\)
\(P'(1) = 3(1)^2 + a = 3 + a = 0\)
Donc : \(a = -3\)
De \(a + b = -1\) et \(a = -3\) : \(-3 + b = -1\)
Donc : \(b = 2\)
Les réels \(a = -3\) et \(b = 2\) permettent à \(P(x) = x^3 - 3x + 2\) d'être divisible par \((x-1)^2\).
• Condition de divisibilité : Si \((x-a)^n\) divise \(P(x)\), alors \(P(a) = P'(a) = ... = P^{(n-1)}(a) = 0\)
• Dérivation : Utiliser la dérivée pour les conditions supplémentaires
• Système d'équations : Résoudre les conditions simultanément
- Recherche de racines : Tester des valeurs simples (±1, ±2, ±3...)
- Théorème de Bézout : Si \(P(a) = 0\) alors \((x-a)\) divise \(P(x)\)
- Division euclidienne : Pour obtenir le quotient après avoir trouvé un facteur
- Identités remarquables : \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
- Équations bicarrées : Poser \(X = x^2\) et résoudre en X
- Un polynôme de degré n a au maximum n racines réelles
- Si \((x-a)^2\) divise \(P(x)\), alors \(P(a) = 0\) et \(P'(a) = 0\)
- Un polynôme de degré impair admet toujours au moins une racine réelle
- Les polynômes de degré pair peuvent ne pas avoir de racines réelles
- Sur \(\mathbb{R}\), les facteurs irréductibles sont de degré 1 ou 2
