Polynômes de degrés supérieurs | Mathématiques 1ère

Un polynôme de degré n est une expression de la forme :

où :

• \( a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0 \) sont des coefficients réels
• \( a_n \neq 0 \) (coefficient dominant)
• \( n \) est un entier naturel appelé degré du polynôme

• Degré 0 : P(x) = 5 (constante)
• Degré 1 : P(x) = 2x + 3 (linéaire)
• Degré 2 : P(x) = x² - 4x + 1 (quadratique)
• Degré 3 : P(x) = 2x³ - x² + 5x - 7 (cubique)
• Degré 4 : P(x) = x⁴ - 3x² + 2 (quartique)

Le terme \( a_n x^n \) est appelé le terme dominant du polynôme. C'est lui qui détermine le comportement du polynôme pour les grandes valeurs de x.

Pour additionner deux polynômes, on regroupe les termes de même degré :

Soit P(x) = 2x³ + x² - 3x + 1 et Q(x) = x³ - 2x² + 4x - 5

On multiplie chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second :

Soit P(x) = x + 2 et Q(x) = x² - 3x + 1

• deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q))
• deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q)

Soient A(x) et B(x) deux polynômes avec B(x) ≠ 0. Il existe un unique couple de polynômes Q(x) et R(x) tels que :

avec deg(R) < deg(B) ou R(x) = 0.

Où :

• A(x) est le dividende
• B(x) est le diviseur
• Q(x) est le quotient
• R(x) est le reste

Divisons A(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 par B(x) = x - 2

Étape 1 : x³ ÷ x = x² → x²(x - 2) = x³ - 2x²

Étape 2 : (x³ + 2x² - 5x - 6) - (x³ - 2x²) = 4x² - 5x - 6

Étape 3 : 4x² ÷ x = 4x → 4x(x - 2) = 4x² - 8x

Étape 4 : (4x² - 5x - 6) - (4x² - 8x) = 3x - 6

Étape 5 : 3x ÷ x = 3 → 3(x - 2) = 3x - 6

Étape 6 : (3x - 6) - (3x - 6) = 0

Soit P(x) un polynôme. Un nombre α est une racine (ou zéro) de P(x) si et seulement si :

Un nombre α est une racine de P(x) si et seulement si (x - α) divise P(x).

Cela signifie qu'il existe un polynôme Q(x) tel que :

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. Vérifions si α = 1 est une racine :

Donc 1 est bien une racine de P(x), et (x - 1) divise P(x).

Si on connaît une racine α d'un polynôme P(x), on peut factoriser :

On peut ensuite factoriser Q(x) s'il admet des racines.

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Nous savons que x = 1 est une racine, donc P(x) = (x - 1)Q(x)

Effectuons la division : Q(x) = x² - 5x + 6

Factorisons Q(x) : x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Un polynôme de degré n à coefficients réels peut se factoriser comme :

Où les r_i sont les racines réelles, m_i leurs multiplicités, et Q(x) un polynôme sans racine réelle.

Tout polynôme de degré n ≥ 1 à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.

Corollaire : Un polynôme de degré n admet exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).

• Un polynôme de degré n peut toujours être complètement factorisé
• Si le polynôme a des coefficients réels, les racines complexes viennent par paires conjuguées
• Un polynôme de degré impair admet toujours au moins une racine réelle

Soit P(x) = x² + 1. Ce polynôme n'a pas de racine réelle car x² + 1 > 0 pour tout x réel.

Mais il admet deux racines complexes : i et -i

La méthode de Ruffini permet de diviser un polynôme P(x) par (x - α) de manière plus rapide que la division classique.

Elle permet également de calculer P(α) (théorème du reste).

Divisons P(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 7 par (x - 2)

Le quotient est Q(x) = 2x² - x + 1 et le reste est R = -5

Le reste de la division de P(x) par (x - α) est P(α).

Dans notre exemple : P(2) = -5

Donc 2 est bien une racine de P(x).

Donc P(x) = (x - 2)(x³ - 3x² + 0x + 4) = (x - 2)(x³ - 3x² + 4)

Soit Q(x) = x³ - 3x² + 4. Cherchons une racine de Q(x).

Testons x = -1 : Q(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

Donc -1 est une racine de Q(x). Divisons Q(x) par (x + 1) :

Q(x) = (x + 1)(x² - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)²

Donc P(x) = (x - 2)(x + 1)(x - 2)² = (x + 1)(x - 2)³

P(x) = 0 ⟺ (x + 1)(x - 2)³ = 0

Donc x + 1 = 0 ou x - 2 = 0

Les solutions sont : x = -1 et x = 2 (multiplicité 3)

Soit P(x) un polynôme et α une racine de P(x). On dit que α est une racine de multiplicité k si :

où Q(α) ≠ 0.

Autrement dit, (x - α)ᵏ divise P(x) mais (x - α)^(k+1) ne le divise pas.

• P(x) = (x - 1)(x - 2) → racines simples (multiplicité 1)
• P(x) = (x - 3)² → racine double (multiplicité 2)
• P(x) = (x + 1)³ → racine triple (multiplicité 3)
• P(x) = (x - 2)²(x + 3) → 2 est racine double, -3 est racine simple

• Racine simple : le graphe traverse l'axe des x
• Racine double : le graphe touche l'axe des x sans le traverser
• Racine triple : le graphe traverse l'axe des x en effectuant un point d'inflexion

Soit P(x) = ax³ + bx² + cx + d avec racines r₁, r₂, r₃. Alors :

• Somme des racines : r₁ + r₂ + r₃ = -b/a
• Somme des produits deux à deux : r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = c/a
• Produit des racines : r₁r₂r₃ = -d/a

Soit P(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e avec racines r₁, r₂, r₃, r₄. Alors :

• r₁ + r₂ + r₃ + r₄ = -b/a
• r₁r₂ + r₁r₃ + r₁r₄ + r₂r₃ + r₂r₄ + r₃r₄ = c/a
• r₁r₂r₃ + r₁r₂r₄ + r₁r₃r₄ + r₂r₃r₄ = -d/a
• r₁r₂r₃r₄ = e/a

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. Si les racines sont r₁, r₂, r₃ :

• r₁ + r₂ + r₃ = 6
• r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 11
• r₁r₂r₃ = 6

Nous savons que les racines sont 1, 2, 3. Vérifions : 1+2+3 = 6 ✓

• Développer (x - 1)⁴ pour vérifier
• Utiliser la formule du binôme de Newton
• Observer le comportement de P(x) autour de x = 1

Utilisons le binôme de Newton :

Donc P(x) = (x - 1)⁴.

• Degré de P(x) : 4
• Racines de P(x) : x = 1 avec multiplicité 4
• Factorisation complète : P(x) = (x - 1)⁴
• P(x) est un polynôme unitaire (coefficient dominant = 1)

P(x) = (x - 1)⁴

Or, pour tout réel u, u⁴ ≥ 0

Donc (x - 1)⁴ ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ

Et (x - 1)⁴ = 0 ⟺ x - 1 = 0 ⟺ x = 1

Conclusion : P(x) ≥ 0 sur ℝ, et P(x) = 0 seulement pour x = 1.

\( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \) avec \( a_n \neq 0 \)

α est une racine de P(x) si P(α) = 0

A(x) = B(x) × Q(x) + R(x) avec deg(R) < deg(B)

Tout polynôme de degré n ≥ 1 admet n racines complexes

• Méthode de Ruffini pour la division par (x - α)
• Factorisation par identification des racines
• Relations de Viète entre coefficients et racines