Applications à des problèmes concrets | Équations du second degré
Introduction
Découvrez comment les équations du second degré résolvent des problèmes du quotidien
Types de problèmes concrets
Catégories de problèmes
Les problèmes impliquant des surfaces rectangulaires, carrées ou circulaires peuvent souvent se ramener à des équations du second degré.
- Recherche des dimensions d'un rectangle connaissant son aire et son périmètre
- Problèmes d'optimisation de surface
- Calculs de diagonales et de hauteurs
Les équations du second degré modélisent parfaitement les mouvements paraboliques et les phénomènes physiques.
- Mouvement d'un projectile lancé
- Hauteur maximale atteinte
- Temps de vol
- Portée horizontale
Les équations du second degré permettent de trouver des points optimaux dans des situations économiques.
- Maximisation du profit
- Minimisation des coûts
- Recherche du prix optimal
- Analyse de la demande
Méthodologie de résolution
Étapes de résolution
Lisez attentivement l'énoncé pour identifier les données connues et les inconnues. Reformulez le problème en vos propres termes si nécessaire.
Choisissez judicieusement la variable à représenter par x. Elle doit correspondre à la grandeur demandée dans le problème.
Traduisez les conditions du problème en langage mathématique. Cela conduit souvent à une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0.
Utilisez les méthodes appropriées : factorisation, formules du discriminant, ou forme canonique.
Vérifiez que les solutions trouvées répondent bien aux conditions du problème. Interprétez les résultats dans le contexte concret.
Problème géométrique 1
Rectangle et surface
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 cm. Son aire est de 45 cm². Trouver les dimensions de ce rectangle.
Soit x la largeur du rectangle (en cm). Alors la longueur est (x + 4) cm.
L'aire du rectangle est : longueur × largeur = 45
Résolution du problème géométrique 1
Résolution de l'équation
Pour l'équation ax² + bx + c = 0, avec a = 1, b = 4, c = -45 :
La largeur x ne peut pas être négative, donc x₁ = -9 est exclue.
La largeur est donc x₂ = 5 cm.
La longueur est x + 4 = 5 + 4 = 9 cm.
Vérification : 5 × 9 = 45 cm² ✓
Problème physique
Mouvement d'un projectile
Un ballon est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de 20 m/s depuis une hauteur de 1,5 m. La hauteur h(t) du ballon en fonction du temps t est donnée par : h(t) = -5t² + 20t + 1,5. Au bout de combien de temps le ballon retombera-t-il au sol ?
Le ballon touche le sol quand sa hauteur h(t) est égale à 0 :
Pour simplifier, multiplions par -1 :
Ou encore, en multipliant par 2 :
Résolution du problème physique
Résolution de l'équation
Pour l'équation ax² + bx + c = 0, avec a = 10, b = -40, c = -3 :
Le temps ne peut pas être négatif, donc t₁ ≈ -0.07 est exclue.
Le ballon touchera le sol au bout de t₂ ≈ 4.07 secondes.
Le résultat est cohérent avec le contexte physique du problème.
Problème économique
Optimisation du profit
Le profit P (en euros) d'une entreprise en fonction du nombre x d'objets vendus est donné par : P(x) = -2x² + 120x - 1000. Combien d'objets l'entreprise doit-elle vendre pour maximiser son profit ? Quel est ce profit maximal ?
La fonction P(x) = -2x² + 120x - 1000 est une fonction du second degré avec a = -2 < 0.
La parabole est donc orientée vers le bas, donc la fonction admet un maximum.
Le maximum est atteint pour x = -b/(2a) = -120/(2×(-2)) = -120/(-4) = 30.
Le profit maximal est P(30) = -2(30)² + 120(30) - 1000.
Résolution du problème économique
Calcul du profit maximal
L'entreprise doit vendre 30 objets pour maximiser son profit.
Le profit maximal est de 800 euros.
Ce résultat est obtenu grâce à l'étude du sommet de la parabole représentant la fonction du second degré.
On peut écrire P(x) sous forme canonique :
Cette forme confirme que le maximum est atteint en x = 30 et vaut 800.
Exercice d'application
Problème complet
Une entreprise produit des objets dont le coût de fabrication unitaire est de 15 €. Le prix de vente unitaire p (en euros) est lié au nombre x d'objets produits par la relation : p = 80 - 0.5x. Sachant que x ≥ 0, déterminer le nombre d'objets à produire pour que le bénéfice soit maximal. Quel est ce bénéfice maximal ?
- Coût total : C(x) = 15x
- Prix de vente unitaire : p = 80 - 0.5x
- Recette totale : R(x) = x × p = x(80 - 0.5x) = 80x - 0.5x²
- Bénéfice : B(x) = R(x) - C(x) = 80x - 0.5x² - 15x = 65x - 0.5x²
Solution de l'exercice
Correction détaillée
On a déterminé que B(x) = 65x - 0.5x² = -0.5x² + 65x.
C'est une fonction du second degré avec a = -0.5 < 0, donc elle admet un maximum.
L'entreprise doit produire 65 objets pour maximiser son bénéfice.
Le bénéfice maximal est de 2112,50 €.
Problème de trajectoire
Trajectoire d'un objet
Un ballon est lancé depuis le sol avec un angle de 45° par rapport à l'horizontale. Sa trajectoire est modélisée par la fonction h(x) = -0.01x² + x, où x est la distance horizontale parcourue en mètres et h(x) la hauteur en mètres. Quelle est la portée horizontale du ballon ? Quelle est sa hauteur maximale ?
La portée horizontale est la distance x pour laquelle le ballon retombe au sol, donc h(x) = 0.
La hauteur maximale est atteinte au sommet de la parabole, soit pour x = -b/(2a).
Solution du problème de trajectoire
Calculs détaillés
Donc x = 0 ou -0.01x + 1 = 0, ce qui donne x = 1/0.01 = 100.
La portée horizontale est donc de 100 mètres.
Pour h(x) = -0.01x² + x, on a a = -0.01 et b = 1.
La hauteur maximale atteinte par le ballon est de 25 mètres, à une distance horizontale de 50 mètres.
La portée horizontale totale est de 100 mètres.
Exercice complexe
Problème à plusieurs étapes
Un jardin rectangulaire de dimensions L et l (en mètres) doit être entouré d'une allée de largeur uniforme de 2 mètres. L'aire totale du jardin avec l'allée est de 168 m². Si l'on sait que le périmètre du jardin est de 40 m, quelles sont les dimensions du jardin ?
- Exprimer les dimensions du jardin avec l'allée
- Utiliser les relations données pour former un système
- Résoudre le système pour obtenir une équation du second degré
- Interpréter les résultats
Solution de l'exercice complexe
Correction détaillée
Le jardin a pour dimensions L et l. Avec une allée de 2 m de largeur tout autour, les dimensions totales deviennent (L + 4) et (l + 4).
L'aire totale est donc : (L + 4)(l + 4) = 168.
Le périmètre du jardin est : 2(L + l) = 40, donc L + l = 20.
D'où l = 20 - L.
Si L₁ ≈ 4.70, alors l₁ = 20 - 4.70 = 15.30
Si L₂ ≈ 15.30, alors l₂ = 20 - 15.30 = 4.70
Les dimensions du jardin sont donc environ 4.70 m × 15.30 m.
Résumé
Points clés
- Lecture attentive de l'énoncé
- Choix judicieux de l'inconnue
- Mise en équation du problème
- Résolution de l'équation du second degré
- Vérification et interprétation des solutions
- Géométrie : calculs d'aires, dimensions
- Physique : mouvement parabolique, trajectoires
- Économie : optimisation de profit, coût minimal
- Autres domaines : modélisation de phénomènes
- Calcul du discriminant et des racines
- Forme canonique pour trouver le sommet
- Factorisation lorsque possible
- Interprétation graphique
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences