Représentation graphique des fonctions quadratiques

• \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) (a=2, b=-3, c=1)
• \( g(x) = x^2 - 4 \) (a=1, b=0, c=-4)
• \( h(x) = -x^2 + 5x \) (a=-1, b=5, c=0)

Toute fonction quadratique \( f(x) = ax^2 + bx + c \) peut s'écrire sous forme canonique :

Où :

• Identifie immédiatement le sommet de la parabole
• Permet d'étudier les variations de la fonction
• Facilite la résolution d'équations et d'inéquations

Le sommet de la parabole représentant la fonction \( f(x) = ax^2 + bx + c \) a pour coordonnées :

• Si a > 0, le sommet est un minimum (la parabole est tournée vers le haut)
• Si a < 0, le sommet est un maximum (la parabole est tournée vers le bas)
• Le sommet est situé sur l'axe de symétrie de la parabole

L'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction \( f(x) = ax^2 + bx + c \) est la droite verticale d'équation :

Cet axe passe par le sommet de la parabole.

Si M(x, y) est un point de la parabole, alors le point M'(2α - x, y) est aussi un point de la parabole, où α est l'abscisse du sommet.

• La fonction est décroissante sur \( ]-\infty; -\frac{b}{2a}] \)
• La fonction est croissante sur \( [-\frac{b}{2a}; +\infty[ \)
• Elle admet un minimum en \( x = -\frac{b}{2a} \)

• La fonction est croissante sur \( ]-\infty; -\frac{b}{2a}] \)
• La fonction est décroissante sur \( [-\frac{b}{2a}; +\infty[ \)
• Elle admet un maximum en \( x = -\frac{b}{2a} \)

La parabole coupe l'axe des ordonnées en un seul point : A(0, c).

En effet, \( f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c \).

On cherche les solutions de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \).

Le discriminant est \( \Delta = b^2 - 4ac \) :

• Si Δ > 0 : 2 intersections
• Si Δ = 0 : 1 intersection (tangente)
• Si Δ < 0 : aucune intersection

• Sommet de la parabole
• Axe de symétrie
• Orientation de la parabole (vers le haut ou le bas)
• Intersection avec l'axe des ordonnées
• Éventuelles intersections avec l'axe des abscisses
• Quelques points supplémentaires pour précision

• Sommet : \( x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \), \( f(1) = -4 \), donc S(1, -4)
• Axe de symétrie : x = 1
• Intersection avec Oy : (0, -3)
• Intersection avec Ox : solutions de \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

• Si Δ > 0 : la fonction change de signe entre les racines
• Si Δ = 0 : la fonction est du signe de a sauf en la racine
• Si Δ < 0 : la fonction est toujours du signe de a

La fonction est du signe de a à l'extérieur des racines (si elles existent) et du signe opposé à a entre les racines.

Avec \( f(x) = -2x^2 + 4x + 6 \), on a a = -2, b = 4, c = 6.

Calculons α et β :

Donc la forme canonique est : \( f(x) = -2(x - 1)^2 + 8 \)

Le sommet de la parabole a pour coordonnées (α, β) = (1, 8).

Comme a = -2 < 0, la fonction est :

• Croissante sur ]-∞; 1]
• Décroissante sur [1; +∞[

Elle admet un maximum en x = 1 qui vaut 8.

Fonction : \( f(x) = -2x^2 + 4x + 6 \)

Sommet : S(1, 8)

Axe de symétrie : x = 1

Intersection avec Oy : (0, 6)

• Si |a| > 1 : la parabole est plus étroite (plus "fermée")
• Si |a| < 1 : la parabole est plus large (plus "ouverte")
• Si a > 0 : la parabole est tournée vers le haut
• Si a < 0 : la parabole est tournée vers le bas

• b influence la position horizontale du sommet
• c détermine l'ordonnée à l'origine
• Le couple (α, β) détermine la position exacte du sommet

Pour \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \), on a a = 1/2, b = -3, c = 4.

Forme canonique : \( g(x) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - \frac{1}{2} \)

Le sommet est S(3, -1/2).

Calculons le discriminant : \( \Delta = (-3)^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times 4 = 9 - 8 = 1 > 0 \)

Comme a > 0 et Δ > 0, la fonction est positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines.

• \( f(x) = ax^2 + bx + c \) avec a ≠ 0
• Représentée par une parabole

• \( f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \)
• \( \alpha = -\frac{b}{2a} \), \( \beta = f(\alpha) \)

• Sommet : \( S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \)
• Axe de symétrie : \( x = -\frac{b}{2a} \)

• Si a > 0 : décroissante puis croissante (min en α)
• Si a < 0 : croissante puis décroissante (max en α)