Caractéristiques de la Parabole
\( f(x) = ax^2 + bx + c \) ou \( f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \)
Forme développée et forme canonique
Définition :
La représentation graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Elle admet un axe de symétrie vertical passant par son sommet.
Éléments caractéristiques :
• Sommet de la parabole
• Axe de symétrie
• Sens de variation
• Concavité (orientation)
• Axe de symétrie
• Sens de variation
• Concavité (orientation)
Propriétés Géométriques
Coordonnées du sommet
Axe de symétrie
Sens de variation
Concavité
Formules essentielles
Abscisse du sommet: \( \alpha = -\frac{b}{2a} \)
Ordonnée du sommet: \( \beta = f(\alpha) \)
Axe de symétrie: \( x = -\frac{b}{2a} \)
Concavité: a > 0 → ∪, a < 0 → ∩
Sens de variation
Si a > 0 :
Décroissant sur ]-∞,α] et croissant sur [α,+∞[
Si a < 0 :
Croissant sur ]-∞,α] et décroissant sur [α,+∞[
Conseils & Astuces
Repérer d'abord le signe de a pour la concavité
Calculer le sommet pour positionner la parabole
Tracer l'axe de symétrie pour guider le tracé
Calculer quelques points pour préciser la courbe
Utiliser la forme canonique pour lire directement le sommet
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
a = 1 > 0, α = 2, β = -1
Sommet S(2,-1), axe x = 2
a = 1 > 0, α = 2, β = -1
Sommet S(2,-1), axe x = 2
Exemple 2 :
\( f(x) = -2x^2 + 4x - 1 \)
a = -2 < 0, α = 1, β = 1
Sommet S(1,1), axe x = 1
a = -2 < 0, α = 1, β = 1
Sommet S(1,1), axe x = 1
Exemple 3 :
\( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 2 \)
a = 1/2 > 0, α = -1, β = -2.5
Sommet S(-1,-2.5), axe x = -1
a = 1/2 > 0, α = -1, β = -2.5
Sommet S(-1,-2.5), axe x = -1
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre le sens de la parabole avec le signe de a
Erreur 2 :
Oublier de tracer l'axe de symétrie
Erreur 3 :
Se tromper dans le calcul de l'abscisse du sommet
