Principe de l'étude de signe
\( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \) si \( \Delta > 0 \)
Factorisation et signe d'un trinôme
Définition :
L'étude de signe d'une expression consiste à déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'expression est positive, négative ou nulle.
Objectif :
Résoudre des inéquations du second degré et comprendre le comportement d'une fonction.
Règles de Signe
Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines
Δ = 0 : signe de a partout sauf en x₀
Δ < 0 : signe constant (celui de a)
Tableau de signes indispensable
Formules de factorisation
Δ > 0 : \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \)
Δ = 0 : \( ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2 \)
Δ < 0 : Pas de factorisation dans ℝ
Méthode de résolution
Étape 1 :
Identifier les coefficients a, b et c
Étape 2 :
Calculer le discriminant Δ
Étape 3 :
Factoriser si possible
Étape 4 :
Construire le tableau de signes
Conseils & Astuces
Toujours commencer par identifier le signe de a
Faire un tableau de signes même pour les cas simples
Vérifier la factorisation en développant
Ne pas oublier que le signe dépend de a
Lire le signe sur la représentation graphique
Exemples Concrets
Exemple 1 :
\( x^2 - 3x + 2 > 0 \)
Solutions: x₁ = 1, x₂ = 2
Signe positif sur ]-∞,1[ ∪ ]2,+∞[
Solutions: x₁ = 1, x₂ = 2
Signe positif sur ]-∞,1[ ∪ ]2,+∞[
Exemple 2 :
\( -x^2 + 4x - 4 ≤ 0 \)
Solution double: x₀ = 2
Signe négatif partout sauf en x₀
Solution double: x₀ = 2
Signe négatif partout sauf en x₀
Exemple 3 :
\( x^2 + x + 1 > 0 \)
Δ = -3 < 0, donc signe constant
Toujours positif (a = 1 > 0)
Δ = -3 < 0, donc signe constant
Toujours positif (a = 1 > 0)
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Inverser le signe du trinôme par rapport au coefficient a
Erreur 2 :
Oublier de tenir compte du signe de a dans l'étude
Erreur 3 :
Donner un signe incorrect pour le cas Δ < 0
