Signe d'un trinôme : Le signe d'un trinôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dépend du signe de \(a\) et des racines du trinôme.
- Calculer le discriminant \(\Delta\)
- Déterminer le nombre et les valeurs des racines
- Placer les racines sur un axe
- Étudier le signe de \(a\)
- Compléter le tableau de signes
Dans \(f(x) = x^2 - 5x + 6\), on a :
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)
Comme \(\Delta > 0\), il y a deux racines réelles distinctes :
\(x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5-1}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5+1}{2} = 3\)
\(a = 1 > 0\), donc le trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines.
Le trinôme est positif avant \(x_1\), négatif entre \(x_1\) et \(x_2\), et positif après \(x_2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | 2 | 3 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + | 0 | - | 0 | + |
• Signe de \(a\) : Le trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines
• Entre les racines : Le trinôme est du signe opposé à celui de \(a\)
• Sur les racines : Le trinôme s'annule
Factorisation : Si \(\Delta > 0\), le trinôme \(ax^2 + bx + c\) se factorise en \(a(x - x_1)(x - x_2)\) où \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines.
Dans \(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\), on a :
\(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -6\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64\)
\(x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2(2)} = \frac{4-8}{4} = -1\)
\(x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2(2)} = \frac{4+8}{4} = 3\)
On utilise la formule : \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
\(f(x) = 2(x - (-1))(x - 3) = 2(x + 1)(x - 3)\)
Développons : \(2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\) ✓
Le trinôme se factorise en \(f(x) = 2(x + 1)(x - 3)\).
• Formule de factorisation : \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) si \(\Delta > 0\)
• Signe des racines : Respecter les signes dans la factorisation
• Vérification : Toujours développer pour vérifier la factorisation
Inéquation du second degré : Résoudre une inéquation consiste à déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles le trinôme est positif ou négatif.
L'inéquation est déjà sous la forme \(f(x) \leq 0\).
\(f(x) = x^2 - 3x + 2\) avec \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)
\(\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\)
\(x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3-1}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3+1}{2} = 2\)
\(a = 1 > 0\), donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
On cherche les \(x\) tels que \(f(x) \leq 0\), donc le trinôme est négatif ou nul.
Cela correspond à l'intervalle \([1, 2]\).
L'ensemble des solutions est \(S = [1, 2]\).
• Signe du trinôme : Dépend du signe de \(a\) et des racines
• Relation d'ordre : Respecter le sens de l'inégalité
• Intervalles : Inclure ou exclure les bornes selon le signe de l'inégalité
Trinôme avec \(\Delta = 0\) : Le trinôme admet une racine double \(x_0 = \frac{-b}{2a}\) et son signe est constant (sauf en la racine où il s'annule).
Dans \(f(x) = x^2 - 4x + 4\), on a :
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 4\)
\(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0\)
\(x_0 = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2\)
\(a = 1 > 0\), donc le trinôme est du signe de \(a\) partout sauf en \(x_0\).
Le trinôme est strictement positif partout sauf en \(x_0 = 2\) où il s'annule.
| \(x\) | \(-\infty\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + | 0 | + |
• Signe de \(a\) : Le trinôme est du signe de \(a\) partout sauf en la racine
• En la racine : Le trinôme s'annule
• Factorisation : \(f(x) = a(x - x_0)^2\)
Trinôme avec \(\Delta < 0\) : Le trinôme n'admet aucune racine réelle et son signe est constant (celui de \(a\)).
Dans \(f(x) = x^2 + 2x + 3\), on a :
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\)
\(\Delta = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8\)
\(\Delta = -8 < 0\), donc le trinôme n'admet aucune racine réelle.
\(a = 1 > 0\), donc le trinôme est du signe de \(a\) partout.
Le trinôme est strictement positif sur tout \(\mathbb{R}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + |
• Signe de \(a\) : Le trinôme est du signe de \(a\) partout si \(\Delta < 0\)
• Absence de racines : Le trinôme ne s'annule jamais
• Factorisation : Le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\)
- Calcul de \(\Delta\) : Détermine le nombre de racines
- Étude du signe de \(a\) : Détermine l'orientation de la parabole
- Placement des racines : Sur un axe pour établir le tableau
- Remplissage du tableau : En fonction du signe de \(a\) et des racines
- Résolution d'inéquations : À partir du tableau de signes
- Le signe d'un trinôme dépend du signe de \(a\) et des racines
- Si \(\Delta > 0\), le trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines
- Si \(\Delta = 0\), le trinôme est du signe de \(a\) partout sauf en la racine
- Si \(\Delta < 0\), le trinôme est du signe de \(a\) partout
- Le tableau de signes est un outil essentiel pour résoudre des inéquations
