Discriminant : Pour une équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\), le discriminant est \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) dans l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\)
- Appliquer la formule \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Calculer le carré de \(b\) : \(b^2\)
- Calculer le produit \(4ac\)
- Effectuer la différence \(\Delta = b^2 - 4ac\)
Dans l'équation \(2x^2 - 5x + 3 = 0\), on a :
\(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 3\)
\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(b^2 = (-5)^2 = 25\)
\(4ac = 4 \times 2 \times 3 = 24\)
\(\Delta = 25 - 24 = 1\)
Le discriminant de l'équation \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) est \(\Delta = 1\).
• Identification : Toujours identifier correctement les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\)
• Signe de \(b\) : Le coefficient \(b\) conserve son signe dans la formule \(\Delta = b^2 - 4ac\)
• Calcul : Effectuer les calculs avec attention, notamment pour les nombres négatifs
Deux racines réelles : Si \(\Delta > 0\), l'équation admet deux solutions réelles distinctes : \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
Dans \(x^2 - 4x + 3 = 0\), on a :
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4\)
\(\Delta = 4 > 0\), donc l'équation admet deux solutions réelles distinctes.
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Les solutions de l'équation sont \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\).
• Signe de \(\Delta\) : Si \(\Delta > 0\), deux solutions réelles distinctes
• Formules : \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
• Vérification : Toujours substituer les solutions dans l'équation initiale
Une racine réelle double : Si \(\Delta = 0\), l'équation admet une solution réelle double : \(x_0 = \frac{-b}{2a}\).
Dans \(x^2 - 6x + 9 = 0\), on a :
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0\)
\(\Delta = 0\), donc l'équation admet une solution réelle double.
\(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3\)
Substituons \(x = 3\) dans l'équation :
\(3^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\) ✓
L'équation admet une solution double : \(x = 3\).
• Signe de \(\Delta\) : Si \(\Delta = 0\), une solution réelle double
• Formule : \(x_0 = \frac{-b}{2a}\)
• Factorisation : L'équation se factorise sous la forme \(a(x - x_0)^2\)
Aucune racine réelle : Si \(\Delta < 0\), l'équation n'admet aucune solution réelle.
Dans \(x^2 + 2x + 5 = 0\), on a :
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16\)
\(\Delta = -16 < 0\), donc l'équation n'admet aucune solution réelle.
On ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif dans \(\mathbb{R}\).
L'équation n'admet aucune solution réelle.
L'équation n'admet aucune solution réelle.
• Signe de \(\Delta\) : Si \(\Delta < 0\), aucune solution réelle
• Ensemble des solutions : \(S = \emptyset\) (ensemble vide)
• Interprétation : La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses
Factorisation : Si le discriminant est positif ou nul, le trinôme \(ax^2 + bx + c\) peut être factorisé.
Dans \(2x^2 - 4x + 2\), on a :
\(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 2\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0\)
\(x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(2)} = \frac{4}{4} = 1\)
Quand \(\Delta = 0\), le trinôme se factorise sous la forme \(a(x - x_0)^2\).
Donc : \(2x^2 - 4x + 2 = 2(x - 1)^2\)
Développons : \(2(x - 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2\) ✓
Le trinôme se factorise en \(2x^2 - 4x + 2 = 2(x - 1)^2\).
• \(\Delta > 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\)
• \(\Delta = 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\)
• \(\Delta < 0\) : Le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\)
- Calcul de \(\Delta\) : \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Étude du signe de \(\Delta\) : Détermine le nombre de solutions
- Application des formules : Selon le signe de \(\Delta\)
- Factorisation : Selon le signe de \(\Delta\)
- Vérification : Remplacer les solutions dans l'équation
- Le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) détermine le nombre de solutions réelles
- Si \(\Delta > 0\), il y a deux solutions réelles distinctes
- Si \(\Delta = 0\), il y a une solution réelle double
- Si \(\Delta < 0\), il n'y a aucune solution réelle
- Le trinôme peut être factorisé selon le signe de \(\Delta\)
