Forme canonique : Toute fonction polynôme du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) peut s'écrire sous la forme \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\).
- Mettre \(a\) en facteur dans les deux premiers termes
- Compléter le carré en utilisant l'identité remarquable
- Ajuster la constante pour retrouver la fonction initiale
- Identifier \(\alpha\) et \(\beta\)
\(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 7\). On a \(f(x) = x^2 + 4x + 7\).
Comme \(a = 1\), on garde \(f(x) = x^2 + 4x + 7\).
On utilise l'identité remarquable : \(x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4\).
\(f(x) = (x + 2)^2 - 4 + 7 = (x + 2)^2 + 3\).
\(f(x) = (x + 2)^2 + 3\)
• Identité remarquable : \(x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2\)
• Complétion du carré : \(x^2 + bx = (x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2\)
• Forme canonique : \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\)
Sommet de la parabole : Pour une fonction \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), le sommet est le point de coordonnées \((\alpha, \beta)\).
\(f(x) = 2(x - 3)^2 + 5\) est déjà sous forme canonique.
\(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\) avec \(a = 2\), \(\alpha = 3\), \(\beta = 5\).
Le sommet est le point de coordonnées \((\alpha, \beta) = (3, 5)\).
Le minimum de la fonction est 5 et est atteint en \(x = 3\).
Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \((3, 5)\).
• Sommet : Pour \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\), le sommet est \((\alpha, \beta)\)
• Minimum/maxium : Si \(a > 0\), le sommet est un minimum ; si \(a < 0\), c'est un maximum
• Coordonnées : \(\alpha\) est l'abscisse, \(\beta\) est l'ordonnée du sommet
Résolution avec forme canonique : On peut résoudre \(f(x) = 0\) en utilisant la forme canonique et en isolant le carré.
\(f(x) = x^2 + 4x + 3 = (x + 2)^2 - 4 + 3 = (x + 2)^2 - 1\).
\((x + 2)^2 - 1 = 0\).
\((x + 2)^2 = 1\).
\(x + 2 = \pm 1\), donc \(x = -2 \pm 1\).
\(x_1 = -2 + 1 = -1\) et \(x_2 = -2 - 1 = -3\).
Les solutions de l'équation sont \(x = -3\) et \(x = -1\).
• Résolution : \(a^2 = k \Rightarrow a = \pm\sqrt{k}\) si \(k \geq 0\)
• Forme canonique : Permet de résoudre plus facilement certaines équations
• Équivalence : Les solutions de la forme développée sont les mêmes que celles de la forme canonique
Variations d'une fonction du second degré : La forme canonique permet d'étudier les variations en fonction du signe de \(a\).
\(f(x) = -2(x - 1)^2 + 4\) avec \(a = -2\), \(\alpha = 1\), \(\beta = 4\).
\(a = -2 < 0\), donc la parabole est orientée vers le bas.
Le sommet est en \(x = \alpha = 1\), c'est donc le maximum de la fonction.
La fonction est croissante sur \((-\infty, 1]\) et décroissante sur \([1, +\infty)\).
La fonction \(f\) est croissante sur \((-\infty, 1]\) et décroissante sur \([1, +\infty)\).
• Signe de \(a\) : Si \(a > 0\), la fonction admet un minimum ; si \(a < 0\), un maximum
• Monotonie : La fonction est monotone de chaque côté du sommet
• Extremum : Le sommet est l'extremum de la fonction
Extremum d'une fonction du second degré : La forme canonique permet d'identifier immédiatement l'extremum de la fonction.
\(f(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 3(x^2 - 2x) + 2 = 3[(x - 1)^2 - 1] + 2 = 3(x - 1)^2 - 3 + 2 = 3(x - 1)^2 - 1\).
\(f(x) = 3(x - 1)^2 - 1\) avec \(a = 3\), \(\alpha = 1\), \(\beta = -1\).
\(a = 3 > 0\), donc la fonction admet un minimum.
Le minimum est atteint en \(x = \alpha = 1\) et vaut \(f(1) = \beta = -1\).
La fonction admet un minimum égal à \(-1\) atteint en \(x = 1\).
• Minimum/maxium : Si \(a > 0\), la fonction admet un minimum en \(\alpha\) ; si \(a < 0\), un maximum
• Valeur de l'extremum : L'extremum vaut \(\beta\) et est atteint en \(x = \alpha\)
• Forme canonique : Permet d'identifier immédiatement l'extremum
- Mise en forme : Mettre \(a\) en facteur et compléter le carré
- Identification du sommet : Repérer \(\alpha\) et \(\beta\) dans la forme \(a(x - \alpha)^2 + \beta\)
- Étude des variations : Déterminer le signe de \(a\) et en déduire la monotonie
- Résolution d'équations : Isoler le carré et résoudre
- Extremum : Identifier le minimum ou maximum de la fonction
- La forme canonique est unique pour chaque fonction du second degré
- Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \((\alpha, \beta)\)
- Si \(a > 0\), la fonction admet un minimum en \(\alpha\) ; si \(a < 0\), un maximum
- La forme canonique permet de résoudre plus facilement certaines équations
- La forme canonique est obtenue en complétant le carré
