Modèle arithmétique : Lorsqu'une grandeur augmente ou diminue d'une quantité constante à chaque période, on utilise une suite arithmétique.
- Identifier le phénomène : augmentation fixe
- Reconnaître le modèle : suite arithmétique
- Déterminer les paramètres : premier terme et raison
- Appliquer la formule générale
Le salaire augmente de 100 euros chaque année, donc de manière constante.
On note \(u_n\) le salaire après \(n\) années. Alors :
\(u_0 = 1500\) (salaire initial)
\(r = 100\) (raison)
La suite est arithmétique de premier terme \(u_0 = 1500\) et de raison \(r = 100\).
Donc : \(u_n = u_0 + nr = 1500 + 100n\)
Après 5 ans : \(u_5 = 1500 + 100 \times 5 = 1500 + 500 = 2000\) euros.
Le salaire après \(n\) années est \(u_n = 1500 + 100n\) euros.
• Modèle arithmétique : Utilisé pour les variations constantes
• Formule générale : \(u_n = u_0 + nr\) pour une suite arithmétique
• Paramètres : Premier terme et raison doivent être déterminés
Modèle géométrique : Lorsqu'une grandeur est multipliée par un même facteur à chaque période, on utilise une suite géométrique.
La population double chaque heure, donc elle est multipliée par 2 à chaque période.
On note \(u_n\) la population après \(n\) heures. Alors :
\(u_0 = 100\) (population initiale)
\(q = 2\) (raison)
La suite est géométrique de premier terme \(u_0 = 100\) et de raison \(q = 2\).
Donc : \(u_n = u_0 \cdot q^n = 100 \cdot 2^n\)
Après 5 heures : \(u_5 = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200\) bactéries.
La population après \(n\) heures est \(u_n = 100 \cdot 2^n\) bactéries.
• Modèle géométrique : Utilisé pour les variations proportionnelles
• Formule générale : \(u_n = u_0 \cdot q^n\) pour une suite géométrique
• Paramètres : Premier terme et raison doivent être déterminés
Intérêts composés : Le capital est multiplié par un facteur fixe à chaque période, ce qui correspond à une suite géométrique.
Le capital est augmenté de 3% chaque année, donc multiplié par 1.03.
On note \(u_n\) le capital après \(n\) années. Alors :
\(u_0 = 1000\) (capital initial)
\(q = 1.03\) (facteur de multiplication)
La suite est géométrique de premier terme \(u_0 = 1000\) et de raison \(q = 1.03\).
Donc : \(u_n = 1000 \cdot (1.03)^n\)
Après 10 ans : \(u_{10} = 1000 \cdot (1.03)^{10} \approx 1000 \cdot 1.344 = 1344\) euros.
Le capital après \(n\) années est \(u_n = 1000 \cdot (1.03)^n\) euros.
• Intérêts composés : Le capital est multiplié par \((1 + \frac{t}{100})\) où \(t\) est le taux
• Formule générale : \(u_n = u_0 \cdot q^n\) pour une suite géométrique
• Calcul : \(q = 1 + \frac{t}{100}\) où \(t\) est le taux en pourcentage
Désintégration radioactive : La quantité de matière diminue de manière exponentielle, ce qui correspond à une suite géométrique de raison inférieure à 1.
Chaque année, 5% de la matière se désintègre, donc 95% subsistent.
On note \(u_n\) la quantité de matière après \(n\) années. Alors :
\(u_0 = 100\) (quantité initiale)
\(q = 0.95\) (raison)
La suite est géométrique de premier terme \(u_0 = 100\) et de raison \(q = 0.95\).
Donc : \(u_n = 100 \cdot (0.95)^n\)
Après 10 ans : \(u_{10} = 100 \cdot (0.95)^{10} \approx 100 \cdot 0.599 = 59.9\) grammes.
La quantité de matière après \(n\) années est \(u_n = 100 \cdot (0.95)^n\) grammes.
• Désintégration : Si \(t\)% est perdu, alors \((100-t)\)% subsiste
• Raison : \(q = 1 - \frac{t}{100}\) où \(t\) est le pourcentage perdu
• Modèle géométrique : Pour les phénomènes de diminution proportionnelle
Production industrielle : La croissance peut être modélisée par une suite arithmétique (croissance linéaire) ou géométrique (croissance exponentielle).
La production augmente de 50 unités chaque mois, donc de manière constante.
On note \(u_n\) la production au mois \(n\). Alors :
\(u_0 = 1000\) (production initiale)
\(r = 50\) (raison)
La suite est arithmétique de premier terme \(u_0 = 1000\) et de raison \(r = 50\).
Donc : \(u_n = 1000 + 50n\)
Après 12 mois : \(u_{12} = 1000 + 50 \times 12 = 1000 + 600 = 1600\) unités.
Sur 12 mois : \(S_{12} = \frac{(12+1)(u_0 + u_{12})}{2} = \frac{13(1000 + 1600)}{2} = \frac{13 \times 2600}{2} = 16900\) unités.
La production au mois \(n\) est \(u_n = 1000 + 50n\) unités.
La production totale sur 12 mois est de 16900 unités.
• Modèle arithmétique : Pour les croissances linéaires constantes
• Somme des termes : \(S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\) pour une suite arithmétique
• Application : Utiliser les formules pour répondre aux questions concrètes
- Identification : Reconnaître le type de variation (constante ou proportionnelle)
- Choix du modèle : Arithmétique pour les variations fixes, géométrique pour les variations en pourcentage
- Détermination des paramètres : Premier terme et raison
- Écriture de la suite : Appliquer la formule appropriée
- Application : Utiliser la suite pour répondre aux questions posées
- Une suite arithmétique modélise une variation constante
- Une suite géométrique modélise une variation proportionnelle
- Le taux d'évolution se traduit par \(q = 1 + \frac{t}{100}\) pour une augmentation de \(t\)%
- La somme des termes d'une suite arithmétique est \(S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\)
- La somme des termes d'une suite géométrique est \(S_n = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) si \(q \neq 1\)
